Номер 392, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из степени. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 392, страница 93.

392. Верно ли равенство:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1-2\sqrt{3}}=\sqrt{{(\sqrt{3}-1)}^2}= \\ =\left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1 \end{gathered}$$

Ответ: верно

б) $$\begin{gathered} \sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2·2\sqrt{5}}=\sqrt{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}= \\ =\left|\sqrt{5}-2\right|=\sqrt{5}-2\ne 2-\sqrt{5} \end{gathered}$$

Ответ: неверно

а)

Чтобы проверить верность равенства $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1$, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна, и что ее квадрат равен подкоренному выражению левой части.

1. Проверим знак выражения $\sqrt{3} - 1$. Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{3} > 1$. Следовательно, разность $\sqrt{3} - 1 > 0$. Выражение в правой части положительно.

2. Возведем правую часть равенства в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.

Полученное выражение $4 - 2\sqrt{3}$ в точности совпадает с подкоренным выражением в левой части. Поскольку оба условия (неотрицательность правой части и равенство ее квадрата подкоренному выражению) выполнены, равенство верно.

Альтернативный способ: преобразуем левую часть. Заметим, что подкоренное выражение можно представить в виде полного квадрата:
$4 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} - 1)^2$.
Тогда левая часть равна:
$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1|$.
Поскольку, как мы уже выяснили, $\sqrt{3} - 1 > 0$, то $|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$.
Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

б)

Проверим верность равенства $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5}$.

По определению, арифметический квадратный корень (обозначаемый знаком $\sqrt{}$) — это неотрицательное число. Проверим знак выражения в правой части: $2 - \sqrt{5}$.

Сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$. Для этого сравним их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Так как $4 < 5$, то и $2 < \sqrt{5}$.
Следовательно, разность $2 - \sqrt{5}$ является отрицательным числом.

Левая часть равенства, $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$, по определению не может быть отрицательной, а правая часть, $2 - \sqrt{5}$, — отрицательна. Неотрицательное число не может равняться отрицательному, поэтому равенство неверно.

Для справки: можно упростить левую часть. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Чтобы получить $-4\sqrt{5}$ как удвоенное произведение, нужно $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$. Значит, искомые числа - это 2 и $\sqrt{5}$. Проверим сумму их квадратов: $2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$. Это совпадает с первым членом подкоренного выражения.
Следовательно, $9 - 4\sqrt{5} = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{5} - 2)^2$.
Тогда левая часть равна:
$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = |\sqrt{5} - 2|$.
Поскольку $\sqrt{5} > 2$, то $\sqrt{5} - 2 > 0$, и $|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$.
Таким образом, правильное равенство таково: $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2$.
Так как $\sqrt{5} - 2 \neq 2 - \sqrt{5}$, исходное равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.