Номер 2, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 94.

2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.

Если а≥0 и b>0, то $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$
• Каждое из выражений $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ имеет смысл, так как а≥0 и b>0.

Покажем, что выполняются два условия: $1) \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ge 0;$ $2) {\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{a}{b}.$

Так как выражение $\sqrt{a}$ неотрицательно, а выражение $\sqrt{b}$ положительно, то частное $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ неотрицательно. Используя свойство степени частного, получим ${\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\frac{a}{b}.$ Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях а и положительных b верно равенство $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},$ что требовалось доказать.

Формулировка теоремы

Если числитель дроби $a$ неотрицателен ($a \ge 0$), а знаменатель $b$ положителен ($b > 0$), то арифметический квадратный корень из этой дроби равен частному от деления арифметического квадратного корня из числителя на арифметический квадратный корень из знаменателя.

В виде формулы это записывается так:

$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $

Доказательство теоремы

Чтобы доказать эту теорему, мы должны, исходя из определения арифметического квадратного корня, показать, что выражение $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ удовлетворяет двум условиям:

1. Оно неотрицательно.

2. Его квадрат равен подкоренному выражению $ \frac{a}{b} $.

Дано: $ a \ge 0 $, $ b > 0 $.

Доказать: $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.

Проверка первого условия (неотрицательность):

По определению арифметического квадратного корня, если $ a \ge 0 $, то $ \sqrt{a} \ge 0 $. Если $ b > 0 $, то $ \sqrt{b} > 0 $.

Частное от деления неотрицательного числа $ \sqrt{a} $ на положительное число $ \sqrt{b} $ является неотрицательным числом.

Следовательно, $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ge 0 $. Первое условие выполнено.

Проверка второго условия (возведение в квадрат):

Возведем выражение $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ в квадрат, используя свойство степени дроби $ \left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n} $:

$ \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} $

По определению арифметического квадратного корня, $ (\sqrt{a})^2 = a $ и $ (\sqrt{b})^2 = b $.

Таким образом, получаем:

$ \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{a}{b} $

Второе условие также выполнено.

Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня для выражения $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ выполняются, то данное выражение и является арифметическим квадратным корнем из дроби $ \frac{a}{b} $. Теорема доказана.

Ответ: Теорема о квадратном корне из дроби формулируется следующим образом: для любого неотрицательного числа $a$ и любого положительного числа $b$ справедливо равенство $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $. Доказательство, приведённое выше, подтверждает данную теорему, основываясь на определении арифметического квадратного корня.