Номер 402, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 402, страница 96.

402. Вынесите множитель из-под знака корня:

a) $\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt{4}·\sqrt{5}=2\sqrt{5}$

б) $\sqrt{98}=\sqrt{49·2}=\sqrt{49}·\sqrt{2}=7\sqrt{2}$

в) $\sqrt{200}=\sqrt{100·2}=\sqrt{100}·\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

г) $\sqrt{160}=\sqrt{16·10}=\sqrt{16}·\sqrt{10}=4\sqrt{10}$

д) $$\begin{gathered} 0,2\sqrt{75}=0,2\sqrt{25·3}=0,2·\sqrt{25}·\sqrt{3}= \\ =0,2·5\sqrt{3}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

е) $$\begin{gathered} 0,7\sqrt{300}=0,7\sqrt{100·3}=0,7·\sqrt{100}·\sqrt{3}= \\ =0,7·10\sqrt{3}=7\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}-0,125\sqrt{192}=-0,125\sqrt{64·3}= \\ =-0,125\sqrt{64}·\sqrt{3}=-0,125·8\sqrt{3}=-\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}-\frac{1}{3}\sqrt{450}=-\frac{1}{3}\sqrt{225·2}= \\ =-\frac{1}{3}\sqrt{225}·\sqrt{2}=-\frac{1}{3}·15\sqrt{2}=-5\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{20}$, необходимо разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был полным квадратом. Число 20 можно представить как произведение 4 и 5, где 4 является квадратом числа 2.
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) Разложим число 98 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, — это 49 ($7^2$).
$98 = 49 \cdot 2$.
Следовательно, $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.
Ответ: $7\sqrt{2}$.

в) Представим число 200 в виде произведения, где один из множителей — полный квадрат. Наибольший такой множитель — это 100 ($10^2$).
$200 = 100 \cdot 2$.
Тогда $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
Ответ: $10\sqrt{2}$.

г) Разложим число 160 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, — это 16 ($4^2$).
$160 = 16 \cdot 10$.
Таким образом, $\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10} = 4\sqrt{10}$.
Ответ: $4\sqrt{10}$.

д) Сначала упростим корень $\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители $25 \cdot 3$, где 25 — это квадрат числа 5.
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Теперь умножим результат на коэффициент 0,2:
$0,2\sqrt{75} = 0,2 \cdot (5\sqrt{3}) = (0,2 \cdot 5)\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

е) Упростим корень $\sqrt{300}$. Представим 300 как произведение $100 \cdot 3$. Число 100 — это квадрат 10.
$\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.
Далее умножим на коэффициент 0,7:
$0,7\sqrt{300} = 0,7 \cdot (10\sqrt{3}) = (0,7 \cdot 10)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.
Ответ: $7\sqrt{3}$.

ж) Упростим корень $\sqrt{192}$. Найдем наибольший множитель, являющийся полным квадратом. $192 = 64 \cdot 3$, а 64 — это квадрат 8.
$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.
Теперь умножим на коэффициент $-0,125$. Удобно представить $-0,125$ как дробь $-\frac{1}{8}$.
$-0,125\sqrt{192} = -0,125 \cdot (8\sqrt{3}) = -\frac{1}{8} \cdot 8\sqrt{3} = -1 \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.

з) Вынесем множитель из-под знака корня для $\sqrt{450}$. Разложим 450 на множители. Наибольший полный квадрат, который делит 450, это 225 ($15^2$).
$450 = 225 \cdot 2$.
$\sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.
Умножим полученное выражение на коэффициент $-\frac{1}{3}$:
$-\frac{1}{3}\sqrt{450} = -\frac{1}{3} \cdot (15\sqrt{2}) = \left(-\frac{1}{3} \cdot 15\right)\sqrt{2} = -5\sqrt{2}$.
Ответ: $-5\sqrt{2}$.