Номер 409, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 409, страница 97.

409. Расположите в порядке возрастания числа:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }3\sqrt{3}=\sqrt{9}·\sqrt{3}=\sqrt{9·3}=\sqrt{27} \\ 2\sqrt{6}=\sqrt{4}·\sqrt{6}=\sqrt{4·6}=\sqrt{24} \\ 4\sqrt{2}=\sqrt{16}·\sqrt{2}=\sqrt{16·2}=\sqrt{32} \\ 2\sqrt{11}=\sqrt{4}·\sqrt{11}=\sqrt{4·11}=\sqrt{44} \\ \sqrt{24}; \sqrt{27}; \sqrt{29}; \sqrt{32}; \sqrt{44} \\ 2\sqrt{6}; 3\sqrt{3}; \sqrt{29}; 4\sqrt{2}; 2\sqrt{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }6\sqrt{2}=\sqrt{36}·\sqrt{2}=\sqrt{36·2}=\sqrt{72} \\ 3\sqrt{7}=\sqrt{9}·\sqrt{7}=\sqrt{63} \\ 2\sqrt{14}=\sqrt{4}·\sqrt{14}=\sqrt{4·14}=\sqrt{56} \\ 5\sqrt{3}=\sqrt{25}·\sqrt{3}=\sqrt{25·3}=\sqrt{75} \\ \sqrt{56}; \sqrt{58;} \sqrt{63}; \sqrt{72}; \sqrt{75} \\ 2\sqrt{14}; \sqrt{58}; 3\sqrt{7}; 6\sqrt{2}; 5\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }-2\sqrt{5}=-\sqrt{4}\sqrt{5}=-\sqrt{4·5}=-\sqrt{20} \\ -2\sqrt{6}=-\sqrt{4}·\sqrt{6}=-\sqrt{4·6}=-\sqrt{24} \\ -\sqrt{51}; -\sqrt{24}; -\sqrt{20}; -\sqrt{11}; \sqrt{2} \\ -\sqrt{51}; -2\sqrt{6}; -2\sqrt{5}; -\sqrt{11}; \sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}}\mathbf{ }-9\sqrt{2}=-\sqrt{81}·\sqrt{2}=-\sqrt{81·2}=-\sqrt{162} \\ -5\sqrt{8}=-\sqrt{25}·\sqrt{8}=-\sqrt{25·8}=-\sqrt{200} \\ -\frac{1}{3}\sqrt{18}=-\sqrt{\frac{1}{9}}·\sqrt{18}=-\sqrt{\frac{1}{9}·18}=-\sqrt{2} \\ -\sqrt{200}; -\sqrt{162}; -\sqrt{83}; -\sqrt{17}; -\sqrt{2} \\ -5\sqrt{8}; -9\sqrt{2}; -\sqrt{83}; -\sqrt{17}; -\frac{1}{3}\sqrt{18} \end{gathered}$$

а) Чтобы сравнить данные положительные числа, необходимо привести их к одному виду, удобному для сравнения. Для этого внесем множители перед корнями под знак корня. Правило внесения множителя: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ для $a \ge 0$.

$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$
$2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}$
$\sqrt{29}$ (уже в нужном виде)
$4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$
$2\sqrt{11} = \sqrt{2^2 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{44}$

Теперь у нас есть числа: $\sqrt{27}, \sqrt{24}, \sqrt{29}, \sqrt{32}, \sqrt{44}$. Сравним подкоренные выражения: $24 < 27 < 29 < 32 < 44$.

Поскольку для положительных чисел большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня, располагаем числа в порядке возрастания их подкоренных выражений:

$\sqrt{24} < \sqrt{27} < \sqrt{29} < \sqrt{32} < \sqrt{44}$

Возвращаясь к исходным числам, получаем:

$2\sqrt{6} < 3\sqrt{3} < \sqrt{29} < 4\sqrt{2} < 2\sqrt{11}$

Ответ: $2\sqrt{6}, 3\sqrt{3}, \sqrt{29}, 4\sqrt{2}, 2\sqrt{11}$.

б) Поступаем аналогично пункту а), внося множители под знак корня.

$6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}$
$\sqrt{58}$
$3\sqrt{7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$
$2\sqrt{14} = \sqrt{2^2 \cdot 14} = \sqrt{4 \cdot 14} = \sqrt{56}$
$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$

Сравниваем подкоренные выражения: $56 < 58 < 63 < 72 < 75$.

Следовательно, порядок для корней будет таким же:

$\sqrt{56} < \sqrt{58} < \sqrt{63} < \sqrt{72} < \sqrt{75}$

Заменяя на исходные числа, получаем итоговый ряд:

$2\sqrt{14} < \sqrt{58} < 3\sqrt{7} < 6\sqrt{2} < 5\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{14}, \sqrt{58}, 3\sqrt{7}, 6\sqrt{2}, 5\sqrt{3}$.

в) В данном наборе есть одно положительное число ($\sqrt{2}$) и четыре отрицательных. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\sqrt{2}$ будет самым большим числом в ряду.

Теперь сравним отрицательные числа: $-\sqrt{11}, -2\sqrt{5}, -2\sqrt{6}, -\sqrt{51}$. Для этого сравним их модули (абсолютные значения), внеся множители под корень.

$|-\sqrt{11}| = \sqrt{11}$
$|-2\sqrt{5}| = 2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{20}$
$|-2\sqrt{6}| = 2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{24}$
$|-\sqrt{51}| = \sqrt{51}$

Сравним модули: $\sqrt{11} < \sqrt{20} < \sqrt{24} < \sqrt{51}$.

Для отрицательных чисел порядок сравнения обратный: чем больше модуль, тем меньше само число. Поэтому:

$-\sqrt{51} < -\sqrt{24} < -\sqrt{20} < -\sqrt{11}$

Подставляя исходные выражения, получаем: $-\sqrt{51} < -2\sqrt{6} < -2\sqrt{5} < -\sqrt{11}$.

Объединяя все числа в один ряд в порядке возрастания, получаем:

$-\sqrt{51} < -2\sqrt{6} < -2\sqrt{5} < -\sqrt{11} < \sqrt{2}$

Ответ: $-\sqrt{51}, -2\sqrt{6}, -2\sqrt{5}, -\sqrt{11}, \sqrt{2}$.

г) Все числа в этом наборе являются отрицательными. Чтобы их сравнить, нужно сравнить их модули. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше.

Найдем и сравним модули данных чисел, представив их в виде $\sqrt{c}$.

$|-\sqrt{83}| = \sqrt{83}$
$|-9\sqrt{2}| = 9\sqrt{2} = \sqrt{9^2 \cdot 2} = \sqrt{81 \cdot 2} = \sqrt{162}$
$|-\sqrt{17}| = \sqrt{17}$
$|-5\sqrt{8}| = 5\sqrt{8} = \sqrt{5^2 \cdot 8} = \sqrt{25 \cdot 8} = \sqrt{200}$
$|-\frac{1}{3}\sqrt{18}| = \frac{1}{3}\sqrt{18} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 18} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18} = \sqrt{2}$

Расположим модули в порядке возрастания, сравнивая подкоренные выражения $2, 17, 83, 162, 200$:

$\sqrt{2} < \sqrt{17} < \sqrt{83} < \sqrt{162} < \sqrt{200}$

Так как исходные числа отрицательные, их порядок будет обратным порядку их модулей:

$-\sqrt{200} < -\sqrt{162} < -\sqrt{83} < -\sqrt{17} < -\sqrt{2}$

Заменяя выражения на исходные числа, получаем:

$-5\sqrt{8} < -9\sqrt{2} < -\sqrt{83} < -\sqrt{17} < -\frac{1}{3}\sqrt{18}$

Ответ: $-5\sqrt{8}, -9\sqrt{2}, -\sqrt{83}, -\sqrt{17}, -\frac{1}{3}\sqrt{18}$.