Номер 412, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 412, страница 98.

412. В школьной мастерской учащиеся за три дня переплели 144 книги. Сколько книг было переплетено в каждый из трёх дней, если известно, что во второй день учащиеся переплели на 12 книг больше, чем в первый, а в третий — 57 числа книг, переплетённых в первый и во второй дни вместе?

Пусть x книг учащиеся переплели в первый день, (x+12) книг - во второй и $\frac{5}{7}·(x+x+12)$ книг - в третий день.

Зная, что за три дня они переплели 144 книги, составим и решим уравнение.

1) $x+x+12+\frac{5}{7}(x+x+12)=144$

$$\begin{gathered} 2x+12+\frac{5}{7}(2x+12)=144 \\ (2x+12)(1+\frac{5}{7})=144 \\ (2x+12)·\frac{12}{7}=144 \\ (2x+12)=144:\frac{12}{7} \\ 2x+12=144·\frac{7}{12} \\ 2x+12=84 \\ 2x=84-12 \\ 2x=72 \\ x=36 \end{gathered}$$

 

2) 36+12=48 (км) - во второй день

3) $\frac{5}{7}·(36+48)=\frac{5}{7}·84=5·12=60 \left(\text{км}\right)$ - в третий день

Ответ: 36, 48 и 60 книг

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество книг, которое учащиеся переплели в первый день.

Согласно условию, во второй день они переплели на 12 книг больше, чем в первый. Значит, количество книг за второй день составляет $x + 12$.

Суммарное количество книг, переплетенных за первые два дня, равно: $x + (x + 12) = 2x + 12$.

В третий день учащиеся переплели $\frac{5}{7}$ от числа книг, переплетенных в первый и во второй дни вместе. Таким образом, количество книг за третий день составляет $\frac{5}{7}(2x + 12)$.

Общее количество книг, переплетенных за три дня, равно 144. Мы можем составить уравнение, сложив количество книг за каждый из трех дней:

День 1 + День 2 + День 3 = 144

$x + (x + 12) + \frac{5}{7}(2x + 12) = 144$

Упростим левую часть уравнения. Сгруппируем первые два слагаемых:

$(2x + 12) + \frac{5}{7}(2x + 12) = 144$

Вынесем общий множитель $(2x + 12)$ за скобки:

$(2x + 12) \cdot (1 + \frac{5}{7}) = 144$

Выполним сложение в скобках:

$(2x + 12) \cdot (\frac{7}{7} + \frac{5}{7}) = 144$

$(2x + 12) \cdot \frac{12}{7} = 144$

Чтобы найти $(2x + 12)$, разделим обе части уравнения на $\frac{12}{7}$:

$2x + 12 = 144 : \frac{12}{7}$

$2x + 12 = 144 \cdot \frac{7}{12}$

$2x + 12 = 12 \cdot 7$

$2x + 12 = 84$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = 84 - 12$

$2x = 72$

$x = 72 : 2$

$x = 36$

Мы нашли, что в первый день было переплетено 36 книг.

Теперь найдем количество книг за второй и третий дни:

• Второй день: $x + 12 = 36 + 12 = 48$ книг.

• Третий день: $\frac{5}{7}(2 \cdot 36 + 12) = \frac{5}{7}(72 + 12) = \frac{5}{7}(84) = 5 \cdot \frac{84}{7} = 5 \cdot 12 = 60$ книг.

Проверим, что общее количество книг равно 144:

$36 + 48 + 60 = 84 + 60 = 144$.

Расчеты верны.

Ответ: в первый день было переплетено 36 книг, во второй день — 48 книг, а в третий день — 60 книг.