Номер 410, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 410, страница 97.

410. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства

Выясните, каким должно быть соотношение между числами a и b, чтобы было верно равенство $\sqrt{a+\frac{a}{b}}$ = a$\sqrt{\frac{a}{b}}$ где a ∈ N и b ∈ N.

1) Возведите в квадрат обе части равенства.

2) Установите, каким должно быть соотношение между числами a и b.

3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.

$$\begin{gathered} \sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{4}·\sqrt{\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{4·\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}- \text{верно} \\ \sqrt{3\frac{2}{3}}=3\sqrt{\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{11}{3}}=\sqrt{9}·\sqrt{\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{11}{3}}=\sqrt{9·\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{11}{3}}=\sqrt{\frac{27}{8}}- \text{неверно} \\ \sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}} \\ \sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{16}·\sqrt{\frac{4}{15}} \\ \sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{16·\frac{4}{15}} \\ \sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}- \text{верно} \\ \sqrt{a+\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{a}{b}}, \text{где }a\in N, b\in N \\ {\left(\sqrt{a+\frac{a}{b}}\right)}^2={\left(a\sqrt{\frac{a}{b}}\right)}^2 \\ a+\frac{a}{b}=a^2·\frac{a}{b} \\ \frac{ab+a}{b}=\frac{a^3}{b} \\ ab+a=a^3 \\ a(b+1)=a^3 \\ b+1=\frac{a^3}{a} \\ b+1=a^2 \\ b=a^2-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a=3; b=3^2-1=8 \\ \sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{9}\sqrt{\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{9·\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} a=5; b=5^2-1=24 \\ \sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}} \\ \sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{25}·\sqrt{\frac{5}{24}} \\ \sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{25·\frac{5}{24}} \\ \sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}} \end{gathered}$$

Для того чтобы выяснить, каким должно быть соотношение между натуральными числами $a$ и $b$, чтобы было верно равенство $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$, выполним предложенные шаги.

1) Возведите в квадрат обе части равенства.

Исходное равенство: $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$.

Возводим в квадрат левую часть равенства:

$(\sqrt{a + \frac{a}{b}})^2 = a + \frac{a}{b}$

Возводим в квадрат правую часть равенства:

$(a\sqrt{\frac{a}{b}})^2 = a^2 \cdot (\sqrt{\frac{a}{b}})^2 = a^2 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$

Приравниваем полученные выражения и получаем новое равенство:

$a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$

Ответ: $a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.

2) Установите, каким должно быть соотношение между числами a и b.

Используем равенство, полученное в предыдущем пункте: $a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{ab + a}{b} = \frac{a^3}{b}$

Поскольку по условию $b$ — натуральное число ($b \in N$), то $b \neq 0$. Следовательно, мы можем умножить обе части уравнения на $b$:

$ab + a = a^3$

Вынесем $a$ за скобки в левой части:

$a(b + 1) = a^3$

Поскольку по условию $a$ — натуральное число ($a \in N$), то $a \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$b + 1 = a^2$

Отсюда выражаем $b$ через $a$:

$b = a^2 - 1$

Так как $b$ должно быть натуральным числом, то есть $b \ge 1$, то должно выполняться условие $a^2 - 1 \ge 1$, что равносильно $a^2 \ge 2$. Учитывая, что $a$ — натуральное число, это условие справедливо для всех $a \ge 2$.

Ответ: Соотношение между числами $a$ и $b$ должно быть $b = a^2 - 1$, где $a$ — натуральное число, не меньшее 2.

3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.

Проверим найденное соотношение $b = a^2 - 1$ на примерах из условия задачи.

Пример 1: $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Данное равенство можно записать в виде $\sqrt{2+\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$. Здесь $a=2$, а $b=3$.

Проверим наше соотношение: $b = a^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Соотношение выполняется. Само равенство также верное: $\sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$.

Пример 2: $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$.

Данное равенство можно записать в виде $\sqrt{4+\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$. Здесь $a=4$, а $b=15$.

Проверим наше соотношение: $b = a^2 - 1 = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$. Соотношение выполняется. Равенство также верное: $\sqrt{\frac{64}{15}} = \sqrt{16 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$.

Замечание: Второй пример в условии, $\sqrt{3\frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, является неверным, так как $\sqrt{\frac{11}{3}} \neq \sqrt{\frac{27}{8}}$. Согласно нашему выводу, для $a=3$ правильное равенство должно иметь вид $\sqrt{3+\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, так как $b=3^2-1=8$. В исходном примере, по-видимому, допущена опечатка.

Создадим новый пример: Пусть $a=5$.

Тогда $b$ должно быть равно $b = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.

Составим равенство по общей формуле $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\sqrt{5 + \frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}$

Проверим его истинность:

Левая часть: $\sqrt{5 + \frac{5}{24}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 24 + 5}{24}} = \sqrt{\frac{120+5}{24}} = \sqrt{\frac{125}{24}}$.

Правая часть: $5\sqrt{\frac{5}{24}} = \sqrt{25 \cdot \frac{5}{24}} = \sqrt{\frac{125}{24}}$.

Равенство верно, что подтверждает наш вывод.

Ответ: Примеры для пар чисел $(a=2, b=3)$, $(a=4, b=15)$ и $(a=5, b=24)$ подтверждают, что равенство $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$ выполняется, когда между натуральными числами $a$ и $b$ существует соотношение $b = a^2 - 1$ (при $a \ge 2$).