Страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

437. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2+2\sqrt{5}}= \\ =\sqrt{{(1+\sqrt{5})}^2}=\left|1+\sqrt{5}\right|=1+\sqrt{5} \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{11-4\sqrt{7}}=\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{7}\right)}^2-4\sqrt{7}}= \\ =\sqrt{{(\sqrt{7}-2)}^2}=\left|\sqrt{7}-2\right|=\sqrt{7}-2 \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}$, представим подкоренное выражение $6 + 2\sqrt{5}$ в виде полного квадрата. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Мы ищем два числа $a$ и $b$, такие что $a^2+b^2 = 6$ и $2ab = 2\sqrt{5}$. Из второго уравнения получаем $ab = \sqrt{5}$.

Если представить $a$ и $b$ в виде $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$, то их квадрат будет $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}$. Сравнивая это с выражением $6+2\sqrt{5}$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x+y = 6 \\ xy = 5 \end{cases}$

Методом подбора или по теореме Виета легко найти, что числами, удовлетворяющими этой системе, являются $x=5$ и $y=1$.

Таким образом, подкоренное выражение можно представить в виде квадрата суммы:

$6 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{5}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{5} + 1)^2$.

Теперь извлечем корень из полученного выражения:

$\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = |\sqrt{5} + 1|$.

Так как $\sqrt{5} + 1$ — число положительное, то модуль равен самому выражению.

Ответ: $\sqrt{5} + 1$.

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$, представим подкоренное выражение $11 - 4\sqrt{7}$ в виде полного квадрата. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$.

Сначала преобразуем член с корнем к виду, содержащему $2ab$: $4\sqrt{7} = 2 \cdot 2\sqrt{7}$.

Теперь ищем два числа $a$ и $b$, такие что $a^2+b^2=11$ и $ab=2\sqrt{7}$.

Методом подбора можно заметить, что если взять $a=\sqrt{7}$ и $b=2$, то оба условия выполняются:

$a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2 + 2^2 = 7+4=11$.

$ab = \sqrt{7} \cdot 2 = 2\sqrt{7}$.

Таким образом, подкоренное выражение можно представить как квадрат разности:

$11 - 4\sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{7} - 2)^2$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - 2)^2} = |\sqrt{7} - 2|$.

Для того чтобы раскрыть модуль, необходимо сравнить числа $\sqrt{7}$ и $2$. Поскольку $7>4$, то $\sqrt{7} > \sqrt{4}$, а значит $\sqrt{7} > 2$. Следовательно, выражение $\sqrt{7} - 2$ является положительным.

$|\sqrt{7} - 2| = \sqrt{7} - 2$.

Ответ: $\sqrt{7} - 2$.

438. Найдите значение выражения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{2}= \\ =\sqrt{3^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·3\sqrt{2}}-\sqrt{2}= \\ =\sqrt{{(3+\sqrt{2})}^2}-\sqrt{2}=\left|3+\sqrt{2}\right|-\sqrt{2}= \\ =3+\sqrt{2}-\sqrt{2}=3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{27-5\sqrt{8}}+\sqrt{2}=\sqrt{27-5\sqrt{4·2}}+\sqrt{2}= \\ =\sqrt{27-10\sqrt{2}}+\sqrt{2}= \\ =\sqrt{5^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2·5\sqrt{2}}+\sqrt{2}= \\ =\sqrt{{(5-\sqrt{2})}^2}+\sqrt{2}=\left|5-\sqrt{2}\right|+\sqrt{2}= \\ =5-\sqrt{2}+\sqrt{2}=5 \end{gathered}$$

а) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2}$

Для решения этой задачи мы попытаемся представить выражение под знаком корня, $11 + 6\sqrt{2}$, в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=11$ и $2ab = 6\sqrt{2}$.

Из второго уравнения получаем $ab = 3\sqrt{2}$. Попробуем подобрать простые значения. Например, пусть $a=3$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим, выполняется ли первое условие: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$. Условие выполняется.

Таким образом, мы можем записать:

$11 + 6\sqrt{2} = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (3+\sqrt{2})^2$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2} = \sqrt{(3+\sqrt{2})^2} - \sqrt{2}$.

Поскольку выражение $3+\sqrt{2}$ положительное, корень из его квадрата равен самому выражению:

$\sqrt{(3+\sqrt{2})^2} = 3+\sqrt{2}$.

Завершаем вычисление:

$(3+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 3$.

Ответ: 3

б) $\sqrt{27 - 5\sqrt{8}} + \sqrt{2}$

Сначала упростим выражение под первым корнем. Заметим, что $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим это в выражение:

$\sqrt{27 - 5(2\sqrt{2})} + \sqrt{2} = \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} + \sqrt{2}$.

Теперь представим подкоренное выражение $27 - 10\sqrt{2}$ в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=27$ и $2ab = 10\sqrt{2}$.

Из второго уравнения получаем $ab = 5\sqrt{2}$. Попробуем подобрать значения. Например, пусть $a=5$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим первое условие: $a^2+b^2 = 5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25 + 2 = 27$. Условие выполняется.

Таким образом, мы можем записать:

$27 - 10\sqrt{2} = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (5-\sqrt{2})^2$.

Подставим это в наше выражение:

$\sqrt{(5-\sqrt{2})^2} + \sqrt{2}$.

Поскольку $5 > \sqrt{2}$ (ведь $5^2=25$, а $(\sqrt{2})^2=2$), разность $5-\sqrt{2}$ положительна. Значит, корень из ее квадрата равен самой разности:

$\sqrt{(5-\sqrt{2})^2} = 5-\sqrt{2}$.

Завершаем вычисление:

$(5-\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 5$.

Ответ: 5