Номер 1, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 1, страница 103.

1. На примере выражения 3a покажите, как можно внести множитель под знак корня.

$3\sqrt{a}=\sqrt{9}·\sqrt{a}=\sqrt{9a}$

Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель во вторую степень (в квадрат) и записать результат под знаком корня, умножив его на исходное подкоренное выражение. Это правило основывается на тождестве $\sqrt{x^2} = x$ для любого неотрицательного числа $x$.

Рассмотрим на примере выражения $3\sqrt{a}$.

1. Определяем множитель, который нужно внести под корень. В данном случае это число 3.

2. Так как $3$ — положительное число, мы можем представить его в виде квадратного корня из его квадрата:$3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$.

3. Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$3\sqrt{a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a}$

4. Воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$). Объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{9 \cdot a} = \sqrt{9a}$

Таким образом, внесение множителя 3 под знак корня в выражении $3\sqrt{a}$ преобразует его в $\sqrt{9a}$. Данное преобразование является тождественным при условии, что переменная $a$ неотрицательна ($a \ge 0$), так как только в этом случае исходное выражение имеет смысл.

Ответ: $3\sqrt{a} = \sqrt{3^2 \cdot a} = \sqrt{9a}$.