Номер 3, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 3, страница 103.

3. На примере выражений 1a и 1a + b покажите, как можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1·\sqrt{a}}{\sqrt{a}·\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a} \\ \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{1·(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}= \\ =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{{\sqrt{a}}^2-{\sqrt{b}}^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} \end{gathered}$$

Освобождение от иррациональности в знаменателе — это преобразование дроби к такому виду, чтобы ее знаменатель не содержал знаков корня (радикалов). Метод зависит от вида иррационального выражения в знаменателе.

$\frac{1}{\sqrt{a}}$

В данном случае знаменатель состоит из одного квадратного корня. Чтобы от него избавиться, нужно числитель и знаменатель дроби домножить на этот же корень. Это действие основано на свойстве $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a$. Преобразование имеет смысл при $a > 0$.

Выполним умножение:

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$

Таким образом, мы получили дробь с рациональным знаменателем $a$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{a}$

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

В этом случае знаменатель представляет собой сумму (или разность) двух квадратных корней. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ является выражение $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

При умножении знаменателя на сопряженное ему выражение мы используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Преобразование имеет смысл при $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a \ne b$.

Выполним умножение:

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$

В результате мы получили дробь с рациональным знаменателем $a - b$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$