Номер 493, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 493, страница 112.

493. Найдите значение выражения:

a) $\frac{1}{11-2\sqrt{30}}-\frac{1}{11+2\sqrt{30}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{11+2\sqrt{30}-(11-2\sqrt{30})}{(11-2\sqrt{30})(11+2\sqrt{30})}= \\ =\frac{11+2\sqrt{30}-11+2\sqrt{30}}{{11}^2-{\left(2\sqrt{30}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{30}}{121-4·30}= \\ =\frac{4\sqrt{30}}{121-120}=4\sqrt{30} \end{gathered}$$

б) $\frac{5}{3+2\sqrt{2}}+\frac{5}{3-2\sqrt{2}}=\frac{5(3-2\sqrt{2})+5(3+2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=$

$=\frac{15-10\sqrt{2}+15+10\sqrt{2}}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{30}{9-8}=30$

в) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}^2+{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}= \\ =\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+3+5+2\sqrt{5}·\sqrt{3}+3}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}= \\ =\frac{16}{5-3}=\frac{16}{2}=8 \end{gathered}$$

г) $\frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}}+\frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{{(11+\sqrt{21})}^2+{(11-\sqrt{21})}^2}{(11-\sqrt{21})(11+\sqrt{21})}= \\ =\frac{121+2·11·\sqrt{21}+21+121-2·11·\sqrt{21}+21}{{11}^2-{\left(\sqrt{21}\right)}^2}= \\ =\frac{284}{121-21}=\frac{284}{100}=2,84 \end{gathered}$$

а)

Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{11 - 2\sqrt{30}} - \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}}$, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})$.
Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1}{11 - 2\sqrt{30}} - \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} = \frac{1 \cdot (11 + 2\sqrt{30})}{(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})} - \frac{1 \cdot (11 - 2\sqrt{30})}{(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})} = \frac{(11 + 2\sqrt{30}) - (11 - 2\sqrt{30})}{1}$

Раскроем скобки в числителе:

$11 + 2\sqrt{30} - 11 + 2\sqrt{30} = (11-11) + (2\sqrt{30} + 2\sqrt{30}) = 4\sqrt{30}$.

Ответ: $4\sqrt{30}$

б)

Чтобы найти значение выражения $\frac{5}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{5}{3 - 2\sqrt{2}}$, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})$.
По формуле разности квадратов: $3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{5(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} + \frac{5(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{5(3 - 2\sqrt{2}) + 5(3 + 2\sqrt{2})}{1}$

Вынесем 5 за скобки в числителе:

$5((3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2})) = 5(3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2}) = 5(6) = 30$.

Ответ: 30

в)

Чтобы найти значение выражения $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.
По формуле разности квадратов: $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} + \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2}$.

Используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$.
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$.

Подставим полученные значения в числитель:

$\frac{(8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15})}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: 8

г)

Чтобы найти значение выражения $\frac{11 + \sqrt{21}}{11 - \sqrt{21}} + \frac{11 - \sqrt{21}}{11 + \sqrt{21}}$, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})$.
По формуле разности квадратов: $11^2 - (\sqrt{21})^2 = 121 - 21 = 100$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(11 + \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})}{(11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})} + \frac{(11 - \sqrt{21})(11 - \sqrt{21})}{(11 + \sqrt{21})(11 - \sqrt{21})} = \frac{(11 + \sqrt{21})^2 + (11 - \sqrt{21})^2}{100}$.

Воспользуемся тождеством $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$.
В нашем случае $a=11$ и $b=\sqrt{21}$.
$(11 + \sqrt{21})^2 + (11 - \sqrt{21})^2 = 2(11^2 + (\sqrt{21})^2) = 2(121 + 21) = 2(142) = 284$.

Подставим полученное значение в числитель:

$\frac{284}{100} = 2,84$.

Ответ: 2,84