Номер 498, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 498, страница 113.

498. Сократите дробь:

a) $\frac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{5}·\sqrt{2}-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{2^2-\sqrt{5}·\sqrt{2}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{2·{\left(\sqrt{2}\right)}^2-\sqrt{5}·\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}= \\ =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{2,5} \end{gathered}$$

б) $\frac{{(\sqrt{10}-1)}^2-3}{\sqrt{10}+\sqrt{3}-1}=\frac{{(\sqrt{10}-1)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{\sqrt{10}+\sqrt{3}-1}=$

$=\frac{(\sqrt{10}-1-\sqrt{3})(\sqrt{10}-1+\sqrt{3})}{\sqrt{10}+\sqrt{3}-1}=\sqrt{10}-1-\sqrt{3}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{2\sqrt{10} - 5}{4 - \sqrt{10}}$, преобразуем ее числитель, вынеся за скобки общий множитель.

Заметим, что числитель $2\sqrt{10} - 5$ можно представить в виде $\frac{\sqrt{10}}{2}(4 - \sqrt{10})$. Проверим это, раскрыв скобки в полученном выражении:

$\frac{\sqrt{10}}{2}(4 - \sqrt{10}) = \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot 4 - \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10} - \frac{10}{2} = 2\sqrt{10} - 5$.

Тождество верно. Теперь подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}(4 - \sqrt{10})}{4 - \sqrt{10}}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(4 - \sqrt{10})$, так как он не равен нулю ($4 = \sqrt{16}$, а $\sqrt{16} \neq \sqrt{10}$).

После сокращения получаем:

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{(\sqrt{10} - 1)^2 - 3}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}$, преобразуем ее числитель.

Представим число $3$ как $(\sqrt{3})^2$. Тогда выражение в числителе примет вид разности квадратов:

$(\sqrt{10} - 1)^2 - (\sqrt{3})^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \sqrt{10} - 1$ и $b = \sqrt{3}$:

$((\sqrt{10} - 1) - \sqrt{3})((\sqrt{10} - 1) + \sqrt{3}) = (\sqrt{10} - 1 - \sqrt{3})(\sqrt{10} - 1 + \sqrt{3})$

Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы один из множителей совпал со знаменателем:

$(\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1)(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)$

Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1)(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)$, так как он не равен нулю. В результате получим:

$\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1$

Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1$