Номер 508, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 508, страница 114.

508. Постройте графики функций:

$y=\sqrt{x};$ область определения функции x≥0

x	0	1	4	9
y	0	1	2	3

График функции $y=\sqrt{x}-3$ и $y=\sqrt{x}+3$ получаются из графика функции $y=\sqrt{x}$ сдвигом его на 3 единицы вниз и 3 единицы вверх вдоль оси y соответственно.

График функции $y=\sqrt{x-3}$ и $y=\sqrt{x+3}$ получаются из графика функции $y=\sqrt{x}$ сдвигом его на 3 единицы вправо и 3 единицы влево вдоль оси x соответственно.

Для построения графиков всех заданных функций мы будем использовать график базовой функции $y = \sqrt{x}$ и выполнять его преобразования, то есть сдвиги по осям координат.

$y = \sqrt{x}$

Это основная функция. Ее график — ветвь параболы.

Найдем область определения и область значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Значение квадратного корня также неотрицательно: $y \ge 0$. Таким образом, область определения — $[0, +\infty)$, а область значений — $[0, +\infty)$.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

$x$	0	1	4	9
$y = \sqrt{x}$	0	1	2	3

Нанеся точки (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3) на координатную плоскость и соединив их плавной кривой, мы получим искомый график. Он начинается в начале координат и плавно поднимается вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки (1, 1), (4, 2) и (9, 3).

$y = \sqrt{x} - 3$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$). Область определения остается прежней: $x \ge 0$. Область значений смещается на 3 вниз: $y \ge -3$.

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0, -3)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1, -2)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4, -1)
• (9, 3) $\rightarrow$ (9, 0)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 3$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вниз.

$y = \sqrt{x} + 3$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$). Область определения: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 3$.

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0, 3)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1, 4)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4, 5)
• (9, 3) $\rightarrow$ (9, 6)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} + 3$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вверх.

$y = \sqrt{x - 3}$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Область определения: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. Область значений: $y \ge 0$. Начальная точка графика — (3, 0).

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) $\rightarrow$ (3, 0)
• (1, 1) $\rightarrow$ (4, 1)
• (4, 2) $\rightarrow$ (7, 2)
• (9, 3) $\rightarrow$ (12, 3)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 3}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вправо.

$y = \sqrt{x + 3}$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Область определения: $x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$. Область значений: $y \ge 0$. Начальная точка графика — (-3, 0).

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) $\rightarrow$ (-3, 0)
• (1, 1) $\rightarrow$ (-2, 1)
• (4, 2) $\rightarrow$ (1, 2)
• (9, 3) $\rightarrow$ (6, 3)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x + 3}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы влево.