Номер 548, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 548, страница 127.

548. Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01 (воспользуйтесь калькулятором):

а) x² – 8x + 9 = 0;

б) 2y² – 8y + 5 = 0.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-8x+9=0 \\ D={(-8)}^2-4·1·9=64-36=28>0 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{28}}{2}, x=\frac{8\pm 2\sqrt{7}}{2} \\ x=4\pm \sqrt{7} \\ x=4+\sqrt{7}\approx 4+2,65\approx 6,65 \\ x=4-\sqrt{7}\approx 4-2,65\approx 1,35 \\ \text{Ответ:} \approx 6,65; \approx 1,35 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2y^2-8y+5=0 \\ D={(-8)}^2-4·2·5=64-40=24>0 \\ y=\frac{8\pm \sqrt{24}}{4}, y=\frac{8\pm 2\sqrt{6}}{4}; y=\frac{2(4\pm \sqrt{6})}{4} \\ y=\frac{4+\sqrt{6}}{2}\approx 3,22 \\ y=\frac{4-\sqrt{6}}{2}\approx 0,78 \\ \text{Ответ:} \approx 0,78; \approx 3,22 \end{gathered}$$

а) $x^2 - 8x + 9 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-8$, $c=9$.
Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 - 36 = 28$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 4 \pm \sqrt{7}$.
Таким образом, точные значения корней: $x_1 = 4 + \sqrt{7}$ и $x_2 = 4 - \sqrt{7}$.
Теперь найдем их приближенные значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01. Воспользуемся калькулятором для вычисления $\sqrt{7} \approx 2,64575...$
$x_1 = 4 + \sqrt{7} \approx 4 + 2,64575... = 6,64575... \approx 6,65$.
$x_2 = 4 - \sqrt{7} \approx 4 - 2,64575... = 1,35424... \approx 1,35$.
Ответ: $x_1 \approx 6,65$; $x_2 \approx 1,35$.

б) $2y^2 - 8y + 5 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где коэффициенты $a=2$, $b=-8$, $c=5$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 64 - 40 = 24$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2(4 \pm \sqrt{6})}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2}$.
Точные значения корней: $y_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ и $y_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$.
Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Воспользуемся калькулятором для вычисления $\sqrt{6} \approx 2,44948...$
$y_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 + 2,44948...}{2} = \frac{6,44948...}{2} = 3,22474... \approx 3,22$.
$y_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 - 2,44948...}{2} = \frac{1,55051...}{2} = 0,77525... \approx 0,78$.
Ответ: $y_1 \approx 3,22$; $y_2 \approx 0,78$.