Номер 542, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 542, страница 126.

542. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} (2x-3)(5x+1)=2x+\frac{2}{5} \\ 10x^2+2x-15x-3-2x-0,4=0 \\ 10x^2-15x-3,4=0 \\ D={(-15)}^2-4·10·(-3,4)=225+136=361>0 \\ x=\frac{15\pm \sqrt{361}}{20}, x=\frac{15\pm 19}{20} \\ \begin{array}{lcl}x=\frac{34}{20}& \text{или}& x=-\frac{4}{20}\\ x=\frac{17}{10}& & x=-\frac{1}{5}\\ x=1,7& & x=-0,2\end{array} \\ \text{Ответ:} -0,2; 1,7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} (3y-1)(y+3)=y(1+6y) \\ 3y^2+9y-y-3=y+6y^2 \\ 3y^2+8y-3-y-6y^2=0 \\ -3y^2+7y-3=0 \\ D=7^2-4·(-3)·(-3)=49-36=13>0 \\ y=\frac{-7\pm \sqrt{13}}{-6}; y=-\frac{-7\pm \sqrt{13}}{6} \\ y=\frac{7\pm \sqrt{13}}{6} \\ \text{Ответ:} \frac{7+\sqrt{13}}{6}; \frac{7-\sqrt{13}}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} (t-1)(t+1)=2(5t-10\frac{1}{2}) \\ {t}^2-1=10t-21 \\ {t}^2-10t-1+21=0 \\ {t}^2-10t+20=0 \\ D={(-10)}^2-4·1·20=100-80=20>0 \\ t=\frac{10\pm \sqrt{20}}{2}; t=\frac{10\pm 2\sqrt{5}}{2}; \\ t=5\pm \sqrt{5} \\ \text{Ответ:} 5+\sqrt{5}; 5-\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} -z(z+z)=(z-2)(z+2) \\ -z^2-7z=z^2-4 \\ -z^2-z^2-7z+4=0 \\ -2z^2-7z+4=0 \\ D={(-7)}^2-4·(-2)·4=49+32=81>0 \\ z=\frac{7\pm \sqrt{81}}{-4}; z=\frac{7\pm 9}{-4} \\ z=-4; z=0,5 \\ \text{Ответ:} -4; 0,5 \end{gathered}$$

а) $(2x - 3)(5x + 1) = 2x + \frac{2}{5}$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x \cdot 5x + 2x \cdot 1 - 3 \cdot 5x - 3 \cdot 1 = 2x + \frac{2}{5}$

$10x^2 + 2x - 15x - 3 = 2x + \frac{2}{5}$

$10x^2 - 13x - 3 = 2x + \frac{2}{5}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$10x^2 - 13x - 2x - 3 - \frac{2}{5} = 0$

$10x^2 - 15x - (3 + \frac{2}{5}) = 0$

$10x^2 - 15x - (\frac{15}{5} + \frac{2}{5}) = 0$

$10x^2 - 15x - \frac{17}{5} = 0$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:

$50x^2 - 75x - 17 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 50, b = -75, c = -17$

$D = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-17) = 5625 + 3400 = 9025$

$\sqrt{D} = \sqrt{9025} = 95$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{75 + 95}{2 \cdot 50} = \frac{170}{100} = 1,7$

$x_2 = \frac{75 - 95}{2 \cdot 50} = \frac{-20}{100} = -0,2$

Ответ: $1,7$; $-0,2$.

б) $(3y - 1)(y + 3) = y(1 + 6y)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3y \cdot y + 3y \cdot 3 - 1 \cdot y - 1 \cdot 3 = y \cdot 1 + y \cdot 6y$

$3y^2 + 9y - y - 3 = y + 6y^2$

$3y^2 + 8y - 3 = y + 6y^2$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$0 = y + 6y^2 - (3y^2 + 8y - 3)$

$0 = 6y^2 - 3y^2 + y - 8y + 3$

$3y^2 - 7y + 3 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 3, b = -7, c = 3$

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13$

$\sqrt{D} = \sqrt{13}$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$

Ответ: $\frac{7 + \sqrt{13}}{6}$; $\frac{7 - \sqrt{13}}{6}$.

в) $(t - 1)(t + 1) = 2(5t - 10\frac{1}{2})$

Упростим обе части уравнения. В левой части используем формулу разности квадратов, в правой — преобразуем смешанное число в неправильную дробь и раскроем скобки:

$t^2 - 1^2 = 2(5t - \frac{21}{2})$

$t^2 - 1 = 2 \cdot 5t - 2 \cdot \frac{21}{2}$

$t^2 - 1 = 10t - 21$

Перенесем все члены в левую часть:

$t^2 - 10t - 1 + 21 = 0$

$t^2 - 10t + 20 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 1, b = -10, c = 20$

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 - 80 = 20$

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_{1,2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{2(5 \pm \sqrt{5})}{2} = 5 \pm \sqrt{5}$

Ответ: $5 + \sqrt{5}$; $5 - \sqrt{5}$.

г) $-z(z + 7) = (z - 2)(z + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части используем формулу разности квадратов:

$-z^2 - 7z = z^2 - 2^2$

$-z^2 - 7z = z^2 - 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = z^2 - 4 + z^2 + 7z$

$2z^2 + 7z - 4 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 2, b = 7, c = -4$

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$z_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$

$z_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

Ответ: $0,5$; $-4$.