Номер 538, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 538, страница 125.

538. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 8x^2-14x+5=0 \\ 8x^2-2·7x+5=0 \\ {D}_1={(-7)}^2-8·5=49-40=9 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{9}}{8}, x=\frac{7\pm 3}{8} \\ x=\frac{10}{8} \text{или} x=\frac{1}{2} \\ x=\frac{5}{4} \\ x=1\frac{1}{4} \\ \text{Ответ:} 1\frac{1}{4}; \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 12t^2+16t-3=0 \\ 12t^2+2·8t-3=0 \\ {D}_1=8^2-12·(-3)=64+36=100 \\ t=\frac{-8\pm \sqrt{100}}{12}, t=\frac{-8\pm 10}{12} \\ \begin{array}{ccl}t=\frac{1}{6}& \text{или}& t=\frac{-18}{12}\\ & & t=-\frac{3}{2}\\ & & t=-1\frac{1}{2}\end{array} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{6}, -1\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 4p^2+4p+1=0 \\ 4p^2+2·2p+1=0 \\ {D}_1=2^2-4·1=4-4=0 \\ p=\frac{-2}{4}; p=-\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x^2-8x-84=0 \\ {x}^2-2·4x-84=0 \\ {D}_1={(-4)}^2-1·(-84)=16+84=100 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{100}}{1}, x=4\pm 10 \\ x=14 \text{или} x=-6 \\ \text{Ответ:} -6; 14 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} m^2+6m-19=0 \\ {m}^2+2·3m-19=0 \\ {D}_1=3^2-1·(-19)=9+19=28 \\ m=\frac{-3\pm \sqrt{28}}{1}, m=-3\pm 2\sqrt{7} \\ \text{Ответ:} -3+2\sqrt{7}; -3-2\sqrt{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 5y^2+26y-24=0 \\ 5y^2+2·13y-24=0 \\ {D}_1={13}^2-5·(-24)=169+120=289 \\ y=\frac{-13\pm \sqrt{289}}{5}, y=\frac{-13\pm 17}{5} \\ y=\frac{4}{5} \text{или} y=-6 \\ \text{Ответ:} -6; 0,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} z^2-34z+289=0 \\ {z}^2-2·17z+289=0 \\ {D}_1={(-17)}^2-1·289=289-289=0 \\ z=17 \\ \text{Ответ:} 17 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} 3x^2+32x+80=0 \\ 3x^2+2·16x+80=0 \\ {D}_1={16}^2-3·80=256-240=16 \\ x=\frac{-16\pm \sqrt{16}}{3}, x=\frac{-16\pm 4}{3} \\ \begin{array}{ccl}x=-4& \text{или}& x=-\frac{20}{3}\\ & & x=-6\frac{2}{3}\end{array} \\ \text{Ответ:} -4; -6\frac{2}{3} \end{gathered}$$

а) Решим квадратное уравнение $8x^2 - 14x + 5 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=8$, $b=-14$, $c=5$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 5 = 196 - 160 = 36$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-14) + 6}{2 \cdot 8} = \frac{14 + 6}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1,25$.
$x_2 = \frac{-(-14) - 6}{2 \cdot 8} = \frac{14 - 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: $x_1 = 1,25$; $x_2 = 0,5$.

б) Решим квадратное уравнение $12t^2 + 16t - 3 = 0$.
Здесь $a=12$, $b=16$, $c=-3$. Коэффициент $b$ четный, поэтому воспользуемся формулой для четного второго коэффициента $k = \frac{b}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Найдем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 8^2 - 12 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
$\sqrt{D_1} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни по формуле $t_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$t_1 = \frac{-8 + 10}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
$t_2 = \frac{-8 - 10}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} = -1,5$.
Ответ: $t_1 = \frac{1}{6}$; $t_2 = -1,5$.

в) Решим квадратное уравнение $4p^2 + 4p + 1 = 0$.
Левая часть уравнения является полным квадратом суммы: $(2p)^2 + 2 \cdot 2p \cdot 1 + 1^2 = (2p+1)^2$.
Получаем уравнение $(2p+1)^2 = 0$.
$2p + 1 = 0$.
$2p = -1$.
$p = -\frac{1}{2} = -0,5$.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $p = -0,5$.

г) Решим квадратное уравнение $x^2 - 8x - 84 = 0$.
Здесь $a=1$, $b=-8$, $c=-84$. Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{b}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Найдем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-4)^2 - 1 \cdot (-84) = 16 + 84 = 100$.
$\sqrt{D_1} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1}$ (так как $a=1$):
$x_1 = -(-4) + 10 = 4 + 10 = 14$.
$x_2 = -(-4) - 10 = 4 - 10 = -6$.
Ответ: $x_1 = 14$; $x_2 = -6$.

д) Решим квадратное уравнение $m^2 + 6m - 19 = 0$.
Здесь $a=1$, $b=6$, $c=-19$. Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Найдем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 3^2 - 1 \cdot (-19) = 9 + 19 = 28$.
$\sqrt{D_1} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Найдем корни по формуле $m_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1}$ (так как $a=1$):
$m_1 = -3 + 2\sqrt{7}$.
$m_2 = -3 - 2\sqrt{7}$.
Ответ: $m_{1,2} = -3 \pm 2\sqrt{7}$.

е) Решим квадратное уравнение $5y^2 + 26y - 24 = 0$.
Здесь $a=5$, $b=26$, $c=-24$. Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{b}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
Найдем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 13^2 - 5 \cdot (-24) = 169 + 120 = 289$.
$\sqrt{D_1} = \sqrt{289} = 17$.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$y_1 = \frac{-13 + 17}{5} = \frac{4}{5} = 0,8$.
$y_2 = \frac{-13 - 17}{5} = \frac{-30}{5} = -6$.
Ответ: $y_1 = 0,8$; $y_2 = -6$.

ж) Решим квадратное уравнение $z^2 - 34z + 289 = 0$.
Заметим, что $289 = 17^2$ и $34 = 2 \cdot 17$. Левая часть уравнения является полным квадратом разности: $z^2 - 2 \cdot z \cdot 17 + 17^2 = (z-17)^2$.
Получаем уравнение $(z-17)^2 = 0$.
$z - 17 = 0$.
$z = 17$.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $z = 17$.

з) Решим квадратное уравнение $3x^2 + 32x + 80 = 0$.
Здесь $a=3$, $b=32$, $c=80$. Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{b}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
Найдем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 16^2 - 3 \cdot 80 = 256 - 240 = 16$.
$\sqrt{D_1} = \sqrt{16} = 4$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_1 = \frac{-16 + 4}{3} = \frac{-12}{3} = -4$.
$x_2 = \frac{-16 - 4}{3} = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3}$.
Ответ: $x_1 = -4$; $x_2 = -6\frac{2}{3}$.