Номер 540, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 540, страница 126.

540. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 5x^2=9x+2 \\ 5x^2-9x-2=0 \\ D={(-9)}^2-4·5·(-2)=81+40=121>0 \\ x=\frac{9\pm \sqrt{121}}{10}, x=\frac{9\pm 11}{10} \\ x=2 \text{или} x=-0,2 \\ \text{Ответ:} 2; -0,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -t^2=5t-14 \\ -t^2-5t+14=0 \\ D={(-5)}^2-4·(-1)·14=25+56=81>0 \\ t=\frac{5\pm \sqrt{81}}{-2}, t=\frac{5\pm 9}{-2} \\ t=-7 \text{или} t=2 \\ \text{Ответ:} -7; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 6x+9=x^2 \\ {x}^2-6x-9=0 \\ D={(-6)}^2-4·1·(-9)=36+36=72>0 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{72}}{2}; x=\frac{6\pm 6\sqrt{2}}{2} \\ x=3\pm 3\sqrt{2} \\ \text{Ответ:} 3+3\sqrt{2}; 3-3\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} z-5=z^2-25 \\ {z}^2-z+5-25=0 \\ {z}^2-z-20=0 \\ D={(-1)}^2-4·1·(-20)=1+80=81>0 \\ z=\frac{1\pm \sqrt{81}}{2}; z=\frac{1\pm 9}{2} \\ z=5 \text{или} z=-4 \\ \text{Ответ:} -4; 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} y^2=52y-576 \\ {y}^2-52y+576=0 \\ D={(-52)}^2-4·1·576=2704-2304=400>0 \\ y=\frac{52\pm \sqrt{400}}{2}; y=\frac{52\pm 20}{2} \\ y=36 \text{или} y=16 \\ \text{Ответ:} 16; 36 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 15y^2-30=22y+7 \\ 15y^2-22y-30-7=0 \\ 15y^2-22y-37=0 \\ D={(-22)}^2-4·15·(-37)=484+2220=2704>0 \\ y=\frac{22\pm \sqrt{2704}}{30}, y=\frac{22\pm 52}{30} \\ y=\frac{74}{30} \text{или} y=-1 \\ y=\frac{37}{15} \\ y=2\frac{7}{15} \\ \text{Ответ:} -1; 2\frac{7}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} 25p^2=10p-1 \\ 25p^2-10p+1=0 \\ D={(-10)}^2-4·25·1=100-100=0 \\ p=\frac{10}{50}, p=\frac{1}{5} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} 299x^2+100x=500-101x^2 \\ 299x^2+101x^2+100x-500=0 \\ 400x^2+100x-500=0 /:100 \\ 4x^2+x-5=0 \\ D=1^2-4·4·(-5)=1+80=81>0 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{81}}{8}, x=\frac{-1\pm 9}{8} \\ \begin{array}{ccl}x=1& \text{или}& x=-\frac{10}{8}\\ & & x=-\frac{5}{4}\\ & & x=-1\frac{1}{4}\end{array} \\ \text{Ответ:} 1; -1\frac{1}{4} \end{gathered}$$

а) $5x^2 = 9x + 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$5x^2 - 9x - 2 = 0$
Здесь коэффициенты: $a = 5$, $b = -9$, $c = -2$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{9 + 11}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{9 - 11}{10} = \frac{-2}{10} = -0.2$.
Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -0.2$.

б) $-t^2 = 5t - 14$

Перенесем все члены уравнения в одну часть, например, в правую, чтобы коэффициент при $t^2$ стал положительным:
$0 = t^2 + 5t - 14$
$t^2 + 5t - 14 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 1$, $b = 5$, $c = -14$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Ответ: $t_1 = 2$, $t_2 = -7$.

в) $6x + 9 = x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 6x - 9 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = -9$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$.
Так как $D > 0$, но не является полным квадратом, корни будут иррациональными.
$\sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-6) + 6\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-(-6) - 6\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 6\sqrt{2}}{2} = 3 - 3\sqrt{2}$.
Ответ: $x_1 = 3 + 3\sqrt{2}$, $x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$.

г) $z - 5 = z^2 - 25$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$z^2 - z - 25 + 5 = 0$
$z^2 - z - 20 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -1$, $c = -20$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$.
Найдем корни:
$z_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$z_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Ответ: $z_1 = 5$, $z_2 = -4$.

д) $y^2 = 52y - 576$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$y^2 - 52y + 576 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -52$, $c = 576$.
Так как коэффициент $b$ - четное число, можно использовать формулу для $D/4$:
$k = b/2 = -52/2 = -26$.
$D/4 = k^2 - ac = (-26)^2 - 1 \cdot 576 = 676 - 576 = 100$.
Корни находим по формуле $y_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D/4}}{a}$:
$y_1 = \frac{26 + \sqrt{100}}{1} = 26 + 10 = 36$.
$y_2 = \frac{26 - \sqrt{100}}{1} = 26 - 10 = 16$.
Ответ: $y_1 = 36$, $y_2 = 16$.

е) $15y^2 - 30 = 22y + 7$

Перенесем все члены в левую часть:
$15y^2 - 22y - 30 - 7 = 0$
$15y^2 - 22y - 37 = 0$
Коэффициенты: $a = 15$, $b = -22$, $c = -37$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-37) = 484 + 2220 = 2704$.
$\sqrt{2704} = 52$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-(-22) + 52}{2 \cdot 15} = \frac{22 + 52}{30} = \frac{74}{30} = \frac{37}{15}$.
$y_2 = \frac{-(-22) - 52}{2 \cdot 15} = \frac{22 - 52}{30} = \frac{-30}{30} = -1$.
Ответ: $y_1 = \frac{37}{15}$, $y_2 = -1$.

ж) $25p^2 = 10p - 1$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$25p^2 - 10p + 1 = 0$
Можно заметить, что левая часть является полным квадратом разности: $(5p)^2 - 2 \cdot (5p) \cdot 1 + 1^2 = (5p - 1)^2$.
Тогда уравнение принимает вид:
$(5p - 1)^2 = 0$
Отсюда следует:
$5p - 1 = 0$
$5p = 1$
$p = \frac{1}{5}$.
Это уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
Ответ: $p = \frac{1}{5}$.

з) $299x^2 + 100x = 500 - 101x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$299x^2 + 101x^2 + 100x - 500 = 0$
$400x^2 + 100x - 500 = 0$
Разделим все уравнение на 100 для упрощения:
$4x^2 + x - 5 = 0$
Коэффициенты: $a = 4$, $b = 1$, $c = -5$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25$.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1.25$.