Номер 567, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 567, страница 130.

567. Старинная задача. Стая обезьян забавляется. Восьмая часть их в квадрате резвится в лесу. Остальные двенадцать кричат на вершине холма. Скажи мне, сколько всего обезьян?

Пусть x обезьян всего, тогда ${\left(\frac{1}{8}x\right)}^2$ обезьян резвятся в лесу. Зная, что 12 обезьян кричат на вершине холма, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{8}x\right)}^2+12=x \\ \frac{1}{64}{x}^2-x+12=0 /·64 \\ {x}^2-64x+768=0 \\ D={(-64)}^2-4·1·768=4096-3072=1024 \\ x=\frac{64\pm \sqrt{1024}}{2}; x=\frac{64\pm 32}{2} \end{gathered}$$

x=48 или x=16

Ответ: 16 или 48 обезьян

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — общее количество обезьян в стае.

Согласно условию, "восьмая часть их в квадрате резвится в лесу". Математически это можно записать как $(\frac{x}{8})^2$.

Остальные обезьяны, число которых равно 12, "кричат на вершине холма".

Таким образом, общее количество обезьян $x$ равно сумме обезьян в лесу и обезьян на холме. Составим уравнение:

$x = (\frac{x}{8})^2 + 12$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$x = \frac{x^2}{64} + 12$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 64:

$64x = x^2 + 12 \cdot 64$

$64x = x^2 + 768$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 64x + 768 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 768 = 4096 - 3072 = 1024$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48$

$x_2 = \frac{64 - 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Мы получили два возможных ответа. Проверим оба варианта, подставив их в условие задачи.

Проверка для $x = 48$:
Восьмая часть от 48 равна $48 / 8 = 6$.
Эта часть в квадрате: $6^2 = 36$ обезьян резвятся в лесу.
Оставшиеся обезьяны: $48 - 36 = 12$. Это соответствует условию задачи.
Следовательно, этот корень является верным решением.

Проверка для $x = 16$:
Восьмая часть от 16 равна $16 / 8 = 2$.
Эта часть в квадрате: $2^2 = 4$ обезьяны резвятся в лесу.
Оставшиеся обезьяны: $16 - 4 = 12$. Это также соответствует условию задачи.
Следовательно, этот корень тоже является верным решением.

Таким образом, задача имеет два правильных ответа.

Ответ: В стае могло быть 16 или 48 обезьян.