Номер 573, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 573, страница 131.

573. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 869.

Пусть x, x+1, x+2 - три последовательных целых числа. Зная, что сумма квадратов этих чисел равна 869, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} x^2+{(x+1)}^2+{(x+2)}^2= \\ =869 x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4-869=0 \\ 3x^2+6x-864=0 /:3 \\ {x}^2+2x-288=0 \\ D=2^2-4·1·(-288)=4+1152=1156 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{1156}}{2}; x=\frac{-2\pm 34}{2} \end{gathered}$$

x=16 или x=-18

2) 16+1=17; 17+1=18

3) -18+1=-17; -17+1=-16

Ответ 16; 17; 18 или -18; -17; -16

Обозначим три последовательных целых числа как $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — среднее из этих чисел.

По условию задачи, сумма квадратов этих чисел равна 869. Можем составить уравнение:
$(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = 869$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$(n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 869$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$n^2 + n^2 + n^2 - 2n + 2n + 1 + 1 = 869$
$3n^2 + 2 = 869$

Теперь решим это неполное квадратное уравнение:
$3n^2 = 869 - 2$
$3n^2 = 867$
$n^2 = \frac{867}{3}$
$n^2 = 289$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $n$:
$n = \pm\sqrt{289}$
$n_1 = 17$
$n_2 = -17$

Получили два возможных значения для среднего числа, а значит, существует два набора искомых чисел.

Первый случай: $n = 17$
Первое число: $n-1 = 17 - 1 = 16$
Второе число: $n = 17$
Третье число: $n+1 = 17 + 1 = 18$
Получаем тройку чисел: 16, 17, 18.
Проверка: $16^2 + 17^2 + 18^2 = 256 + 289 + 324 = 869$.

Второй случай: $n = -17$
Первое число: $n-1 = -17 - 1 = -18$
Второе число: $n = -17$
Третье число: $n+1 = -17 + 1 = -16$
Получаем тройку чисел: -18, -17, -16.
Проверка: $(-18)^2 + (-17)^2 + (-16)^2 = 324 + 289 + 256 = 869$.

Ответ: 16, 17, 18 или -18, -17, -16.