Номер 579, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 579, страница 135.

579. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-2x-9=0 \\ D={(-2)}^2-4·1·(-9)=4+36=40>0 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{40}}{2}, x=\frac{2\pm 2\sqrt{10}}{2} \\ {x}_1=1+\sqrt{10}; x_2=1-\sqrt{10} \end{gathered}$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета

$$\begin{gathered} x_1+x_2=2; x_1·x_2=-9 \\ 1+\sqrt{10}+1-\sqrt{10}=2; \\ (1+\sqrt{10})(1-\sqrt{10})=1-10=-9 \\ \text{Ответ:} 1+\sqrt{10}; 1-\sqrt{10} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 3t^2-4t-4=0 \\ D={(-4)}^2-4·3·(-4)=16+48=64>0 \\ t=\frac{4\pm \sqrt{64}}{6}, t=\frac{4\pm 8}{6} \\ {t}_1=2; t_2=-\frac{4}{6}; t_2=-\frac{2}{3} \\ \text{Проверим:} t^2-\frac{4}{3}t-\frac{4}{3}=0 \\ {t}_1+t_2=\frac{4}{3}; t_1·t_2=-\frac{4}{3} \\ 2+\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}; 2·\left(-\frac{2}{3}\right)= \\ =-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 2; -\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 2z^2+7z-6=0 \\ D=7^2-4·2·(-6)=49+48=97>0 \\ z=\frac{-7\pm \sqrt{97}}{4} \\ {z}^2+\frac{7}{2}z-3=0; z^2+3,5z-3=0 \\ {z}_1+z_2=-3,5 \\ \frac{-7+\sqrt{97}}{4}+\frac{-z-\sqrt{97}}{4}= \\ =\frac{-7+\sqrt{97}-7-\sqrt{97}}{4}= \\ =\frac{-14}{4}=-\frac{7}{2}=-3,5 \\ {z}_1·z_2=-3 \\ \frac{-7+\sqrt{97}}{4}·\frac{-7-\sqrt{97}}{4}= \\ =\frac{-(7-\sqrt{97})·(-(7+\sqrt{97}\left)\right)}{16}= \\ =\frac{49-97}{16}=-\frac{48}{16}=3 \\ \text{Ответ:} \frac{-7+\sqrt{97}}{4}; \frac{-7-\sqrt{97}}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 2t^2+9t+8=0 \\ D=9^2-4·2·8=81-64=17>0 \\ t=\frac{-9\pm \sqrt{17}}{4} \\ {t}^2+\frac{9}{7}t+4=0; t^2+4,5t+4=0 \\ {t}_1+t_2=-4,5 \\ \frac{-9+\sqrt{17}}{4}+\frac{-9-\sqrt{17}}{4}= \\ =\frac{-9+\sqrt{17}-9-\sqrt{17}}{4}= \\ =\frac{-18}{4}=-4,5 \\ {t}_1·t_2=4 \\ \frac{-9+\sqrt{17}}{4}·\frac{-9-\sqrt{17}}{4}= \\ =\frac{-(9-\sqrt{17})·(-(9+\sqrt{17}\left)\right)}{16}= \\ =\frac{81-17}{16}=\frac{64}{16}=4 \\ \text{Ответ:} \frac{-9+\sqrt{17}}{4}; \frac{-9-\sqrt{17}}{4} \end{gathered}$$

а) $x^2 - 2x - 9 = 0$

Решим данное квадратное уравнение. Это приведенное уравнение, его коэффициенты: $a=1, b=-2, c=-9$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 1 \pm \sqrt{10}$

Корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{10}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{10}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Согласно теореме Виета, для приведенного уравнения $x^2 - 2x - 9 = 0$ сумма корней должна быть равна $-(-2)=2$, а произведение корней должно быть равно $-9$.

Проверим сумму найденных корней: $x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{10}) + (1 - \sqrt{10}) = 2$. Условие выполняется.

Проверим произведение найденных корней: $x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{10})(1 - \sqrt{10}) = 1^2 - (\sqrt{10})^2 = 1 - 10 = -9$. Условие выполняется.

Так как оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $1 \pm \sqrt{10}$.

б) $3t^2 - 4t - 4 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=3, b=-4, c=-4$.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$

Корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{4+8}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{4-8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Приведем уравнение к виду $t^2 + \frac{b}{a}t + \frac{c}{a} = 0$, разделив все члены на 3: $t^2 - \frac{4}{3}t - \frac{4}{3} = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $t_1+t_2$ должна быть равна $-(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$, а произведение $t_1 \cdot t_2$ должно быть равно $-\frac{4}{3}$.

Проверим сумму: $t_1 + t_2 = 2 + (-\frac{2}{3}) = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$. Условие выполняется.

Проверим произведение: $t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}$. Условие выполняется.

Оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $2; -\frac{2}{3}$.

в) $2z^2 + 7z - 6 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=2, b=7, c=-6$.

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49 + 48 = 97$

Корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{4}$

Корни: $z_1 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4}$ и $z_2 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{4}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Приведем уравнение к виду $z^2 + \frac{b}{a}z + \frac{c}{a} = 0$, разделив все члены на 2: $z^2 + \frac{7}{2}z - 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $z_1+z_2$ должна быть равна $-\frac{7}{2}$, а произведение $z_1 \cdot z_2$ должно быть равно $-3$.

Проверим сумму: $z_1 + z_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} + \frac{-7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-7 + \sqrt{97} - 7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$. Условие выполняется.

Проверим произведение: $z_1 \cdot z_2 = \left(\frac{-7 + \sqrt{97}}{4}\right) \cdot \left(\frac{-7 - \sqrt{97}}{4}\right) = \frac{(-7)^2 - (\sqrt{97})^2}{16} = \frac{49-97}{16} = \frac{-48}{16} = -3$. Условие выполняется.

Оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $\frac{-7 \pm \sqrt{97}}{4}$.

г) $2t^2 + 9t + 8 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=2, b=9, c=8$.

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 81 - 64 = 17$

Корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm \sqrt{17}}{4}$

Корни: $t_1 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4}$ и $t_2 = \frac{-9 - \sqrt{17}}{4}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Приведем уравнение к виду $t^2 + \frac{b}{a}t + \frac{c}{a} = 0$, разделив все члены на 2: $t^2 + \frac{9}{2}t + 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $t_1+t_2$ должна быть равна $-\frac{9}{2}$, а произведение $t_1 \cdot t_2$ должно быть равно $4$.

Проверим сумму: $t_1 + t_2 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} + \frac{-9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-9 + \sqrt{17} - 9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$. Условие выполняется.

Проверим произведение: $t_1 \cdot t_2 = \left(\frac{-9 + \sqrt{17}}{4}\right) \cdot \left(\frac{-9 - \sqrt{17}}{4}\right) = \frac{(-9)^2 - (\sqrt{17})^2}{16} = \frac{81-17}{16} = \frac{64}{16} = 4$. Условие выполняется.

Оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $\frac{-9 \pm \sqrt{17}}{4}$.