Номер 580, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 580, страница 135.

580. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-15x-16=0 \\ D={(-15)}^2-4·1·(-16)=225+64=289>0 \\ x=\frac{15\pm \sqrt{289}}{2}, x=\frac{15\pm 17}{2} \\ {x}_1=16; \text{или} x_2=-1 \\ \text{Проверка:} \\ {x}_1+x_2=16+(-1)=15 \\ {x}_1·x_2=16·(-1)=-16 \\ \text{Ответ:} -1; 16 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} m^2-6m-11=0 \\ D={(-6)}^2-4·1·(-11)=36+44=80>0 \\ m=\frac{6\pm \sqrt{80}}{2}, m=\frac{6\pm 4\sqrt{5}}{2} \\ {m}_1=3+2\sqrt{5}; m_2=3-2\sqrt{5} \\ \text{Проверка:} \\ {m}_1+m_2=6 \\ 3+2\sqrt{5}+3-2\sqrt{5}=6 \\ {m}_1·m_2=-11 \\ (3+2\sqrt{5})(3-2\sqrt{5})=9-20=-11 \\ \text{Ответ:} 3+2\sqrt{5}; 3-2\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 12x^2-4x-1=0 \\ D={(-4)}^2-4·12·(-1)=16+48=64>0 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} x=\frac{4\pm \sqrt{64}}{24}; \\ {x}_1=\frac{12}{24} \\ {x}_1=\frac{1}{2} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} x=\frac{4\pm 8}{24} \\ {x}_2=-\frac{4}{24} \\ {x}_2=-\frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^2-\frac{4}{12}x-\frac{1}{12}=0 \\ \text{Проверка:} \\ {x}_1+x_2=\frac{4}{12}; x_1+x_2=\frac{1}{3} \\ {x}_1+x_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\ {x}_1·x_2=-\frac{1}{12} \\ \frac{1}{2}·\left(-\frac{1}{6}\right)=-\frac{1}{12} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{6}; \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} t^2-6=0 \\ {t}^2=6 \\ {t}_1=\sqrt{6}; t_2=-\sqrt{6} \\ \text{Проверка:} \\ {t}_1+t_2=0 \\ \sqrt{6}+(-\sqrt{6})=0 \\ {t}_1·t_2=-6 \\ \sqrt{6}·(-\sqrt{6})=-6 \\ \text{Ответ:} -\sqrt{6}; \sqrt{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 5x^2-18x=0; x^2-\frac{18}{5}x=0 \\ x(5x-18)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 5x-18=0\\ & & 5x=18\\ & & x=\frac{18}{5}\\ & & x=3,6\end{array} \\ \text{Проверка:} \\ {x}_1+x_2=3,6 \\ 0+3,6=3,6 \\ {x}_1·x_2=0 \\ 0·3,6=0 \\ \text{Ответ:} 0; 3,6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 2y^2-41=0 \\ {y}^2-\frac{41}{2}=0 \\ {y}^2-20,5=0 \\ {y}^2=20,5 \\ {y}_1=\sqrt{20,5}; y_2=-\sqrt{20,5} \\ \text{Проверка:} \\ {x}_1+x_2=0 \\ \sqrt{20,5}+(-\sqrt{20,5})=0 \\ {x}_1·x_2=-20,5 \\ -\sqrt{20,5}·\sqrt{20,5}=-20,5 \\ \text{Ответ:} -\sqrt{20,5}; \sqrt{20,5} \end{gathered}$$

а) $x^2 - 15x - 16 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Найдем корни с помощью дискриминанта.

$a=1, b=-15, c=-16$

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 17}{2}$

$x_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Для уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p = -15$ и $q = -16$.

Проверяем сумму найденных корней: $x_1 + x_2 = 16 + (-1) = 15$. По теореме Виета, сумма должна быть равна $-p = -(-15) = 15$. Совпадает.

Проверяем произведение найденных корней: $x_1 \cdot x_2 = 16 \cdot (-1) = -16$. По теореме Виета, произведение должно быть равно $q = -16$. Совпадает.

Так как условия теоремы, обратной теореме Виета, выполняются, найденные корни верны.

Ответ: $x_1 = 16, x_2 = -1$.

б) $m^2 - 6m - 11 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта.

$a=1, b=-6, c=-11$

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80$

$\sqrt{D} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

$m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}$

$m_1 = 3 + 2\sqrt{5}$

$m_2 = 3 - 2\sqrt{5}$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. В нашем уравнении $p = -6$ и $q = -11$.

Проверяем сумму корней: $m_1 + m_2 = (3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 6$. По теореме Виета: $-p = -(-6) = 6$. Совпадает.

Проверяем произведение корней: $m_1 \cdot m_2 = (3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5}) = 3^2 - (2\sqrt{5})^2 = 9 - 4 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. По теореме Виета: $q = -11$. Совпадает.

Найденные корни верны.

Ответ: $m_1 = 3 + 2\sqrt{5}, m_2 = 3 - 2\sqrt{5}$.

в) $12x^2 - 4x - 1 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта.

$a=12, b=-4, c=-1$

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64 = 8^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 8}{2 \cdot 12} = \frac{4 \pm 8}{24}$

$x_1 = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{4 - 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Проверяем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. По теореме Виета: $-\frac{b}{a} = -\frac{-4}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Совпадает.

Проверяем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{12}$. По теореме Виета: $\frac{c}{a} = \frac{-1}{12} = -\frac{1}{12}$. Совпадает.

Найденные корни верны.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{6}$.

г) $t^2 - 6 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его.

$t^2 = 6$

$t_{1,2} = \pm\sqrt{6}$

$t_1 = \sqrt{6}, t_2 = -\sqrt{6}$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Уравнение можно записать как $t^2 + 0 \cdot t - 6 = 0$. Здесь $a=1, b=0, c=-6$.

Проверяем сумму корней: $t_1 + t_2 = \sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0$. По теореме Виета: $-\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0$. Совпадает.

Проверяем произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = \sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -6$. По теореме Виета: $\frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6$. Совпадает.

Найденные корни верны.

Ответ: $t_1 = \sqrt{6}, t_2 = -\sqrt{6}$.

д) $5x^2 - 18x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель за скобки.

$x(5x - 18) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x_1 = 0$ или $5x - 18 = 0 \Rightarrow 5x = 18 \Rightarrow x_2 = \frac{18}{5} = 3.6$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Уравнение можно записать как $5x^2 - 18x + 0 = 0$. Здесь $a=5, b=-18, c=0$.

Проверяем сумму корней: $x_1 + x_2 = 0 + \frac{18}{5} = \frac{18}{5}$. По теореме Виета: $-\frac{b}{a} = -\frac{-18}{5} = \frac{18}{5}$. Совпадает.

Проверяем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot \frac{18}{5} = 0$. По теореме Виета: $\frac{c}{a} = \frac{0}{5} = 0$. Совпадает.

Найденные корни верны.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{18}{5}$.

е) $2y^2 - 41 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его.

$2y^2 = 41$

$y^2 = \frac{41}{2}$

$y_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{41}{2}}$

$y_1 = \sqrt{\frac{41}{2}}, y_2 = -\sqrt{\frac{41}{2}}$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Уравнение можно записать как $2y^2 + 0 \cdot y - 41 = 0$. Здесь $a=2, b=0, c=-41$.

Проверяем сумму корней: $y_1 + y_2 = \sqrt{\frac{41}{2}} + (-\sqrt{\frac{41}{2}}) = 0$. По теореме Виета: $-\frac{b}{a} = -\frac{0}{2} = 0$. Совпадает.

Проверяем произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = \sqrt{\frac{41}{2}} \cdot (-\sqrt{\frac{41}{2}}) = -\frac{41}{2}$. По теореме Виета: $\frac{c}{a} = \frac{-41}{2} = -\frac{41}{2}$. Совпадает.

Найденные корни верны.

Ответ: $y_1 = \sqrt{\frac{41}{2}}, y_2 = -\sqrt{\frac{41}{2}}$.