Номер 583, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 583, страница 135.

583. В уравнении x² + px – 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.

$$\begin{gathered} x^2+px-35=0, x_1=7 \\ {x}_1·x_2=-35; \\ 7·x_2=-35; \\ {x}_2=-5 \\ -p=x_1+x_2=7+(-5)=2 \\ p=-2 \\ \text{Ответ:} -5; p=-2 \end{gathered}$$

Дано квадратное уравнение $x^2 + px - 35 = 0$. По условию, один из его корней, назовём его $x_1$, равен 7. Необходимо найти второй корень, $x_2$, и коэффициент $p$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие равенства:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем уравнении $x^2 + px - 35 = 0$ коэффициенты $b=p$ и $c=-35$.

Нахождение другого корня

Применим формулу для произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = c$.
Подставим известные значения $x_1 = 7$ и $c = -35$:
$7 \cdot x_2 = -35$
Теперь найдём $x_2$, разделив обе части равенства на 7:
$x_2 = \frac{-35}{7}$
$x_2 = -5$

Ответ: другой корень равен -5.

Нахождение коэффициента p

Теперь, зная оба корня, применим формулу для их суммы: $x_1 + x_2 = -p$.
Подставим значения $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$:
$7 + (-5) = -p$
$2 = -p$
Отсюда находим значение $p$:
$p = -2$

Ответ: коэффициент p равен -2.