Номер 588, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 588, страница 135.

588. Разность корней квадратного уравнения x² + x + c = 0 равна 6. Найдите с.

$x^2+x+c=0$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=6\\ x_1+x_2=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1=5\\ x_1+x_2=-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=2,5\\ 2,5+x_2=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=2,5\\ x_2=-3,5\end{array}\right.$

$c=x_1·x_2=2,5·(-3,5)=-8,75$

Ответ: -8,75

Дано квадратное уравнение $x^2 + x + c = 0$. Пусть его корни – это $x_1$ и $x_2$.

Для решения этой задачи удобно использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма и произведение корней связаны с коэффициентами следующими формулами:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае, для уравнения $x^2 + x + c = 0$, коэффициенты равны $p=1$ и $q=c$. Следовательно:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$.

По условию задачи, разность корней равна 6. Запишем это математически: $|x_1 - x_2| = 6$.

Чтобы связать это условие с теоремой Виета, возведем обе части равенства в квадрат:
$(x_1 - x_2)^2 = 6^2 = 36$.

Теперь воспользуемся алгебраическим тождеством, которое связывает квадрат разности двух чисел с их суммой и произведением:
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам значения: $(x_1 - x_2)^2 = 36$, $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = c$.
$36 = (-1)^2 - 4c$.

Осталось решить полученное линейное уравнение относительно $c$:
$36 = 1 - 4c$
$4c = 1 - 36$
$4c = -35$
$c = -\frac{35}{4}$
$c = -8.75$.

Ответ: $c = -8.75$.