Номер 589, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 589, страница 135.

589. Разность квадратов корней уравнения x² + 2x + q = 0 равна 12. Найдите q.

$$\begin{gathered} x^2+2x+q=0 \\ {x_1}^2-{x_2}^2=12 \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}(x_1-x_2)(x_1+x_2)=12\\ x_1+x_2=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}(x_1-x_2)·(-2)=12\\ x_1+x_2=-2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=-6\\ x_1+x_2=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1=-8\\ x_1+x_2=-2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-4\\ -4+x_2=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-4\\ x_2=2\end{array}\right.$

$q=x_1·x_2=-4·2=-8$

Ответ: -8

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного квадратного уравнения $x^2 + 2x + q = 0$.

По условию задачи, разность квадратов корней равна 12. Запишем это в виде уравнения:

$x_1^2 - x_2^2 = 12$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Согласно теореме, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае коэффициенты равны $p=2$ и $q=q$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Теперь преобразуем данное в условии равенство, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 12$

Мы знаем, что $x_1 + x_2 = -2$. Подставим это значение в преобразованное уравнение:

$(x_1 - x_2) \cdot (-2) = 12$

Отсюда найдем разность корней:

$x_1 - x_2 = \frac{12}{-2} = -6$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 - x_2 = -6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x_1$:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = -2 + (-6)$

$2x_1 = -8$

$x_1 = -4$

Подставим найденное значение $x_1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$:

$-4 + x_2 = -2$

$x_2 = -2 + 4$

$x_2 = 2$

Итак, корнями уравнения являются числа -4 и 2. Теперь, используя вторую формулу из теоремы Виета, мы можем найти значение $q$:

$q = x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot 2 = -8$

Проверим условие наличия действительных корней. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 4 - 4q$. Подставив найденное значение $q$, получаем $D = 4 - 4(-8) = 4 + 32 = 36$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует нашему решению.

Ответ: $q = -8$