Номер 587, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 587, страница 135.

587. Разность корней квадратного уравнения x² – 12x + q = 0 равна 2. Найдите q.

$$\begin{gathered} x^2-12x+q=0 \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=2\\ x_1+x_2=12\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1=14\\ x_1+x_2=12\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=7\\ 7+x_2=12\end{array}\left\{\begin{array}{l}{x}_1=7\\ x_2=5\end{array}\right.\right. \\ q=7·5=35 \end{gathered}$$

Ответ: 35

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного квадратного уравнения $x^2 - 12x + q = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме, сумма и произведение корней связаны с коэффициентами уравнения следующим образом:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-12) = 12$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

По условию задачи, разность корней равна 2. Пусть $x_1$ будет большим корнем, а $x_2$ — меньшим. Тогда их разность можно записать как: $x_1 - x_2 = 2$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $x_2$: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 12 \\ x_1 - x_2 = 2 \end{cases} $$

Для решения системы сложим первое и второе уравнения: $(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 12 + 2$
$2x_1 = 14$
$x_1 = \frac{14}{2} = 7$

Теперь, зная $x_1$, найдем $x_2$, подставив значение $x_1$ в первое уравнение системы: $7 + x_2 = 12$
$x_2 = 12 - 7 = 5$

Мы нашли корни уравнения: 7 и 5. Теперь, чтобы найти значение $q$, используем второе соотношение из теоремы Виета, которое связывает произведение корней с коэффициентом $q$: $q = x_1 \cdot x_2$
Подставим найденные значения корней: $q = 7 \cdot 5 = 35$

Ответ: 35