Номер 593, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 593, страница 136.

593. (Для работы в парах.) Уравнение x² + 5x + m = 0 имеет корни x₁ и x₂. Найдите, при каком значении m:

а) сумма квадратов корней равна 35;

б) сумма кубов корней равна 40.

1) Обсудите подходы к выполнению задания а) и задания б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки.

$$\begin{gathered} x^2+5x+m=0 \\ \mathbf{\text{а)}} x_1^2+x_2^2=35 \\ {x}_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=35 \\ {(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=35 \\ {x}_1+x_2=-5 \\ {x}_1·x_2=m \\ {(-5)}^2-2m=35 \\ 25-2m=35 \\ 2m=-10 \\ m=-5 \end{gathered}$$

Ответ: при m=-5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x_1^3+x_2^3=40 \\ (x_1+x_2)(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2)=40 \\ -5·(x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2)=40 \\ -5((x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2-x_1{x}_2)=40 \\ (-5{)}^2-3m=-8 \\ 25-3m=-8 \\ 3m=33 \\ m=11 \end{gathered}$$

Ответ: при m=11

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + 5x + m = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = m$

Также, для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 25 - 4m$

Условие $D \ge 0$ дает нам неравенство $25 - 4m \ge 0$, из которого следует $m \le \frac{25}{4}$ или $m \le 6.25$. Найденные значения $m$ мы будем проверять на соответствие этому условию.

а) сумма квадратов корней равна 35

По условию, $x_1^2 + x_2^2 = 35$.

Выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней с помощью тождества:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это тождество значения из теоремы Виета:

$35 = (-5)^2 - 2m$

Решим полученное уравнение относительно $m$:

$35 = 25 - 2m$

$2m = 25 - 35$

$2m = -10$

$m = -5$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию $m \le 6.25$. Так как $-5 \le 6.25$, условие выполняется. Значит, при $m = -5$ уравнение имеет действительные корни, сумма квадратов которых равна 35.

Ответ: $m = -5$.

б) сумма кубов корней равна 40

По условию, $x_1^3 + x_2^3 = 40$.

Выразим сумму кубов корней через их сумму и произведение. Используем формулу суммы кубов:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$

Преобразуем второй множитель, чтобы использовать известные нам величины:

$x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 3x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2$

Тогда формула для суммы кубов примет вид:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$

Подставим значения из теоремы Виета:

$40 = (-5)((-5)^2 - 3m)$

Решим это уравнение:

$40 = -5(25 - 3m)$

Разделим обе части на -5:

$-8 = 25 - 3m$

$3m = 25 + 8$

$3m = 33$

$m = 11$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию существования действительных корней: $m \le 6.25$.

Значение $m = 11$ не удовлетворяет этому условию, поскольку $11 > 6.25$. Это означает, что при $m=11$ дискриминант уравнения будет отрицательным ($D = 25 - 4 \cdot 11 = 25 - 44 = -19 < 0$), и, следовательно, уравнение не будет иметь действительных корней.

Ответ: такого значения $m$, при котором уравнение имело бы действительные корни, не существует.