Номер 3, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 3, страница 137.

3. Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.

$x=\frac{-k\pm \sqrt{D_1}}{a}, \text{где} D_1=k^2-ac$

Стандартное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ – коэффициенты, и $a \neq 0$.

Корни этого уравнения обычно находятся по общей формуле через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В задаче требуется найти формулу для частного случая, когда второй коэффициент $b$ является чётным числом. Если $b$ — чётное, его можно представить в виде $b = 2k$, где $k$ — целое число, равное половине $b$, то есть $k = \frac{b}{2}$.

Теперь подставим $b = 2k$ в общую формулу корней и упростим её.

Вывод формулы для квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом

1. Заменяем $b$ на $2k$ в стандартной формуле:
$x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$

2. Упрощаем выражение под корнем:
$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a}$

3. Выносим общий множитель 4 из-под знака корня:
$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$

4. В числителе выносим общий множитель 2 за скобки и сокращаем его со знаменателем:
$x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Полученная формула удобна для вычислений, так как оперирует с меньшими числами. Выражение под корнем $D_1 = k^2 - ac$ часто называют "упрощённым дискриминантом" или "четвертью дискриминанта", поскольку $D_1 = \frac{D}{4} = \frac{b^2 - 4ac}{4} = (\frac{b}{2})^2 - ac = k^2 - ac$.

Ответ:
Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, в котором второй коэффициент $b$ является чётным числом, формула корней имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.