Номер 600, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 600, страница 139.

600. Имеет ли корни многочлен:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2+1=0 \\ {x}^2=-1 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^3-27=0 \\ (x-3)(x^2+3x+9)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-3=0& \text{или}& x^2+3x+9=0\\ x=3& & D=3^2-4·1·9=9-36=-27<0\end{array} \\ \text{Ответ:} 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} -2y^6-1=0 \\ -(2y^6+1)=0 \\ 2y^6=-1 \\ {y}^6=-\frac{1}{2} \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y^4+3y^2+7=0 \\ {y}^2=t, t\ge 0, y^4=t^2 \\ {t}^2+3t+7=0 \\ D=3^2-4·1·7=9-28=-19<0 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

а) $x^2 + 1$
Чтобы многочлен имел корни, должно существовать такое значение переменной $x$, при котором значение многочлена равно нулю. Проверим, имеет ли уравнение $x^2 + 1 = 0$ действительные решения.
$x^2 + 1 = 0$
$x^2 = -1$
Квадрат любого действительного числа ($x$) не может быть отрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, не существует такого действительного числа, квадрат которого равен -1.
Можно также заметить, что $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Так как значение многочлена всегда больше или равно 1, оно никогда не может быть равно нулю.
Ответ: многочлен не имеет корней.

б) $x^3 - 27$
Приравняем многочлен к нулю, чтобы найти его корни:
$x^3 - 27 = 0$
$x^3 = 27$
Нам нужно найти число, куб которого равен 27. Таким числом является 3, поскольку $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Следовательно, $x=3$ является корнем данного многочлена.
Ответ: да, многочлен имеет корень $x=3$.

в) $-2y^6 - 1$
Проверим, может ли данный многочлен равняться нулю, решив уравнение:
$-2y^6 - 1 = 0$
$-2y^6 = 1$
$y^6 = -\frac{1}{2}$
Любое действительное число ($y$), возведенное в четную степень (в данном случае, 6), дает неотрицательный результат: $y^6 \ge 0$. Следовательно, $y^6$ не может быть равно отрицательному числу $-\frac{1}{2}$.
Кроме того, поскольку $y^6 \ge 0$, то $-2y^6 \le 0$. Тогда $-2y^6 - 1 \le -1$. Значение многочлена всегда меньше или равно -1, поэтому оно не может быть равно нулю.
Ответ: многочлен не имеет корней.

г) $y^4 + 3y^2 + 7$
Проверим, имеет ли уравнение $y^4 + 3y^2 + 7 = 0$ решения.
Рассмотрим слагаемые многочлена. Переменная $y$ возводится только в четные степени (4 и 2). Для любого действительного числа $y$:
$y^4 \ge 0$
$y^2 \ge 0$, а значит $3y^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых ($y^4$ и $3y^2$) и положительного числа (7) всегда будет положительной:
$y^4 + 3y^2 + 7 \ge 0 + 0 + 7 = 7$.
Так как наименьшее возможное значение многочлена равно 7, он никогда не может равняться нулю.
Ответ: многочлен не имеет корней.