Номер 607, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 607, страница 140.

607. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

a) $x^2-6x-2=x^2-2·3x+3^2-3^2-2={(x-3)}^2-11$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2+5x+20=x^2+2·2,5x+2,5^2-2,5^2+20= \\ ={(x+2,5)}^2-6,25+20={(x+2,5)}^2+13,75 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}2x^2-4x+10=2(x^2-2x+5)= \\ =2(x^2-2·1·x+1^2-1^2+5)= \\ =2({(x-1)}^2-1+5)=2({(x-1)}^2+4)= \\ =2{(x-1)}^2+8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{1}{2}{x}^2+x-6=\frac{1}{2}(x^2+2x-12)= \\ =\frac{1}{2}(x^2+2·1x+1^2-1^2-12)= \\ =\frac{1}{2}({(x+1)}^2-13)=\frac{1}{2}{(x+1)}^2-6,5 \end{gathered}$$

а) Чтобы выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена $x^2 - 6x - 2$, мы используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $a=x$. Слагаемое $-6x$ соответствует $-2ab$. Подставив $a=x$, получаем $-2 \cdot x \cdot b = -6x$, откуда находим $b=3$.

Для получения полного квадрата $(x-3)^2$ нам нужен член $b^2 = 3^2 = 9$. Мы можем добавить и вычесть 9, не изменяя исходного выражения:

$x^2 - 6x - 2 = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 2$

Теперь первые три слагаемых в скобках образуют полный квадрат $(x-3)^2$. Упростим оставшуюся часть:

$(x-3)^2 - (9 + 2) = (x-3)^2 - 11$

Ответ: $(x-3)^2 - 11$

б) Для трёхчлена $x^2 + 5x + 20$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a^2=x^2$, значит $a=x$. Слагаемое $5x$ соответствует $2ab$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 5x$. Отсюда $b = \frac{5}{2}$.

Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$. Добавим и вычтем это значение:

$x^2 + 5x + 20 = (x^2 + 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 20$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x+\frac{5}{2})^2$. Выполним вычисления с оставшимися числами:

$(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{80}{4} = (x + \frac{5}{2})^2 + \frac{55}{4}$

Ответ: $(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{55}{4}$

в) Рассмотрим трёхчлен $2x^2 - 4x + 10$. Поскольку коэффициент при $x^2$ не равен 1, сначала вынесем его за скобки из первых двух слагаемых:

$2x^2 - 4x + 10 = 2(x^2 - 2x) + 10$

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 - 2x$. По формуле квадрата разности, где $a=x$ и $-2ab = -2x$, получаем $b=1$. Нам нужно добавить и вычесть $b^2=1^2=1$ внутри скобок:

$2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 10$

Сгруппируем слагаемые, чтобы образовать квадрат разности:

$2((x^2 - 2x + 1) - 1) + 10 = 2((x-1)^2 - 1) + 10$

Теперь раскроем внешние скобки и упростим выражение:

$2(x-1)^2 - 2 \cdot 1 + 10 = 2(x-1)^2 + 8$

Ответ: $2(x-1)^2 + 8$

г) Для выражения $\frac{1}{2}x^2 + x - 6$ вынесем коэффициент $\frac{1}{2}$ за скобки из первых двух слагаемых:

$\frac{1}{2}x^2 + x - 6 = \frac{1}{2}(x^2 + 2x) - 6$

Далее выделим полный квадрат в скобках $x^2 + 2x$. По формуле квадрата суммы, где $a=x$ и $2ab=2x$, получаем $b=1$. Добавим и вычтем $b^2=1^2=1$ внутри скобок:

$\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) - 6$

Сгруппируем слагаемые:

$\frac{1}{2}((x^2 + 2x + 1) - 1) - 6 = \frac{1}{2}((x+1)^2 - 1) - 6$

Раскроем скобки и упростим:

$\frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 6 = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} - \frac{12}{2} = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{13}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{13}{2}$