Номер 610, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 610, страница 140.

610. Даны квадратные трёхчлены

x² – 6x + 11 и –x² + 6x – 11.

Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.

$$\begin{gathered} x^2-6x+11=x^2-2·3x+3^2-3^2+11= \\ ={(x-3)}^2-9+11={(x-3)}^2+2>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -x^2+6x-11=-(x^2-6x+11)= \\ =-(x^2-2·3x+3^2-3^2+11)=-({(x-3)}^2+2)<0 \end{gathered}$$

Для доказательства утверждений для каждого из квадратных трёхчленов мы используем метод выделения полного квадрата. Этот метод позволяет найти экстремум (наименьшее или наибольшее значение) квадратичной функции и определить знак её значений.

Доказательство для трёхчлена $x^2 - 6x + 11$

Рассмотрим первый квадратный трёхчлен $y = x^2 - 6x + 11$. Наша задача — доказать, что $y \ge 0$ для любого действительного значения $x$. Для этого преобразуем выражение, выделив в нём полный квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2 - 6x$ можно представить как $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат $(x-3)^2$, необходимо добавить $3^2=9$. Мы добавим и сразу же вычтем 9, чтобы не изменить исходное выражение:

$x^2 - 6x + 11 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 11$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат и выполним вычисление:

$(x^2 - 6x + 9) + 2 = (x-3)^2 + 2$

Проанализируем полученное выражение $(x-3)^2 + 2$.

Выражение $(x-3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, наименьшее значение, которое может принять $(x-3)^2$, равно 0 (при $x=3$).

Тогда наименьшее значение всего выражения $(x-3)^2 + 2$ будет равно $0 + 2 = 2$.

Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $x^2 - 6x + 11 \ge 2$. Так как $2 > 0$, значения этого трёхчлена всегда положительны, а значит, он не может принимать отрицательных значений.

Ответ: Трёхчлен $x^2 - 6x + 11$ можно представить в виде $(x-3)^2 + 2$. Поскольку $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 - 6x + 11 \ge 2$. Следовательно, этот трёхчлен не принимает отрицательных значений.

Доказательство для трёхчлена $-x^2 + 6x - 11$

Рассмотрим второй квадратный трёхчлен $y = -x^2 + 6x - 11$. Наша задача — доказать, что $y \le 0$ для любого действительного значения $x$. Проведём преобразование, аналогичное первому случаю. Сначала вынесем $-1$ за скобки:

$-x^2 + 6x - 11 = -(x^2 - 6x + 11)$

Мы уже знаем из первого пункта, что выражение в скобках можно представить в виде $(x-3)^2 + 2$. Подставим это в наше выражение:

$-(x^2 - 6x + 11) = -((x-3)^2 + 2) = -(x-3)^2 - 2$

Проанализируем полученное выражение $-(x-3)^2 - 2$.

Как мы установили, $(x-3)^2 \ge 0$. При умножении неравенства на $-1$, его знак меняется на противоположный, поэтому $-(x-3)^2 \le 0$.

Следовательно, наибольшее значение, которое может принять $-(x-3)^2$, равно 0 (при $x=3$).

Тогда наибольшее значение всего выражения $-(x-3)^2 - 2$ будет равно $0 - 2 = -2$.

Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $-x^2 + 6x - 11 \le -2$. Так как $-2 < 0$, значения этого трёхчлена всегда отрицательны, а значит, он не может принимать положительных значений.

Ответ: Трёхчлен $-x^2 + 6x - 11$ можно представить в виде $-(x-3)^2 - 2$. Поскольку $-(x-3)^2 \le 0$ для любого $x$, то $-x^2 + 6x - 11 \le -2$. Следовательно, этот трёхчлен не принимает положительных значений.