Номер 608, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 608, страница 140.

608. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

a) $x^2-10x+10=x^2-2·5x+5^2-5^2+10={(x-5)}^2-15$

б) $$\begin{gathered} x^2+3x-1=x^2+2·1,5x+1,5^2-1,5^2-1= \\ ={(x+1,5)}^2-2,25-1={(x+1,5)}^2-3,25 \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} 3x^2+6x-3=3(x^2+2x-1)=3(x^2+2·1·x+ \\ +1^2-1^2-1)=3({(x+1)}^2-2)=3{(x+1)}^2-6 \end{gathered}$$

г) $\frac{1}{4}{x}^2-x+2=\frac{1}{4}(x^2-4x+8)=$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{4}(x^2-2·2x+2^2-2^2+8)=\frac{1}{4}({(x-2)}^2-4+8)= \\ =\frac{1}{4}({(x-2)}^2+4)=\frac{1}{4}{(x-2)}^2+1 \end{gathered}$$

а) Чтобы выделить квадрат двучлена из выражения $x^2 - 10x + 10$, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Слагаемое $-10x$ является удвоенным произведением первого члена на второй, то есть $-2ab = -10x$. Отсюда $-2 \cdot x \cdot b = -10x$, что дает нам $b=5$.

Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 5^2 = 25$. Добавим и вычтем 25 из исходного выражения, чтобы не изменить его:

$x^2 - 10x + 10 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 10$

Теперь выражение в скобках представляет собой полный квадрат $(x-5)^2$. Вычислим оставшуюся часть:

$(x-5)^2 - 15$

Ответ: $(x-5)^2 - 15$.

б) Для выражения $x^2 + 3x - 1$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = x^2$, следовательно $a=x$. Удвоенное произведение $2ab = 3x$. Подставляя $a=x$, получаем $2 \cdot x \cdot b = 3x$, откуда $b = \frac{3}{2}$.

Чтобы получить полный квадрат, нам нужно слагаемое $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. Добавим и вычтем это число:

$x^2 + 3x - 1 = (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 1$

Выражение в скобках равно $(x+\frac{3}{2})^2$. Упростим оставшиеся числа:

$(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}$

Ответ: $(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}$.

в) В выражении $3x^2 + 6x - 3$ коэффициент при $x^2$ не равен 1. Сначала вынесем его за скобки:

$3(x^2 + 2x - 1)$

Теперь выделим квадрат двучлена для выражения в скобках: $x^2 + 2x - 1$. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a=x$, а $2ab = 2x$, значит $b=1$. Требуемое слагаемое $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 внутри скобок:

$3((x^2 + 2x + 1) - 1 - 1)$

Сгруппируем полный квадрат и упростим:

$3((x+1)^2 - 2)$

Раскроем внешние скобки, умножив каждый член на 3:

$3(x+1)^2 - 6$

Ответ: $3(x+1)^2 - 6$.

г) В выражении $\frac{1}{4}x^2 - x + 2$ вынесем коэффициент $\frac{1}{4}$ за скобки:

$\frac{1}{4}(x^2 - 4x + 8)$

Теперь работаем с выражением в скобках: $x^2 - 4x + 8$. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=x$, а $-2ab = -4x$, откуда $b=2$. Нам необходимо слагаемое $b^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4 внутри скобок:

$\frac{1}{4}((x^2 - 4x + 4) - 4 + 8)$

Сгруппируем полный квадрат и упростим числа:

$\frac{1}{4}((x-2)^2 + 4)$

Раскроем внешние скобки:

$\frac{1}{4}(x-2)^2 + \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{1}{4}(x-2)^2 + 1$

Ответ: $\frac{1}{4}(x-2)^2 + 1$.