Номер 606, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 606, страница 140.

606. Сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, а его свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента. Найдите корни этого трёхчлена.

$a{x}^2+bx+c$ - квадратный трёхчлен. Известно, что c=4a и a+b+c=0. Тогда

a+b+4a=0

5a+b=0

b=-5a

Получим

$$\begin{gathered} a{x}^2-5ax+4a=0 \\ a(x^2-5x+4)=0 \\ {x}^2-5x+4=0 \\ D={(-5)}^2-4·1·4=25-16=9 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{5\pm 3}{2} \end{gathered}$$

x=4 или x=1

Ответ: 1 и 4

Пусть дан квадратный трёхчлен в общем виде $ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$ и $c$ — его коэффициенты. Поскольку трёхчлен является квадратным, старший коэффициент $a \neq 0$.

Согласно первому условию задачи, сумма всех коэффициентов равна нулю. Это можно записать в виде уравнения: $a + b + c = 0$.

Существует свойство квадратных уравнений, которое гласит: если сумма коэффициентов $a+b+c$ равна нулю, то одним из корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ всегда является 1. Проверим это, подставив $x=1$ в левую часть уравнения: $a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$. Так как по условию эта сумма равна 0, то $x_1 = 1$ действительно является одним из корней этого трёхчлена.

Второе условие задачи утверждает, что свободный член $c$ в 4 раза больше старшего коэффициента $a$. Математически это записывается как соотношение: $c = 4a$.

Для нахождения второго корня ($x_2$) воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, произведение корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Мы уже знаем, что $x_1 = 1$, и имеем соотношение $c = 4a$. Подставим эти известные значения в формулу теоремы Виета: $1 \cdot x_2 = \frac{4a}{a}$.

Так как $a \neq 0$, мы можем сократить дробь в правой части равенства: $x_2 = 4$.

Таким образом, мы нашли оба корня заданного квадратного трёхчлена.

Ответ: 1 и 4.