Номер 601, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 601, страница 139.

601. Какие из чисел 1, 2, 3 – 2, –7 + 2 являются корнями квадратного трёхчлена x² – 6x + 7?

$$\begin{gathered} x^2-6x+7=0 \\ D={(-6)}^2-4·1·7=36-28=8 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{8}}{2}; x=\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2} \\ {x}_1=3+\sqrt{2}; x_2=3-\sqrt{2} \\ \text{Ответ:} 3-\sqrt{2} \end{gathered}$$

Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями квадратного трёхчлена $x^2 - 6x + 7$, необходимо поочерёдно подставить каждое из них в выражение вместо $x$. Если в результате вычислений получится 0, то число является корнем.

1

Проверим число 1. Подставляем $x = 1$ в трёхчлен:

$1^2 - 6 \cdot 1 + 7 = 1 - 6 + 7 = 2$

Результат не равен 0, следовательно, число 1 не является корнем.

Ответ: не является.

2

Проверим число 2. Подставляем $x = 2$ в трёхчлен:

$2^2 - 6 \cdot 2 + 7 = 4 - 12 + 7 = -1$

Результат не равен 0, следовательно, число 2 не является корнем.

Ответ: не является.

$3 - \sqrt{2}$

Проверим число $3 - \sqrt{2}$. Подставляем $x = 3 - \sqrt{2}$ в трёхчлен:

$(3 - \sqrt{2})^2 - 6(3 - \sqrt{2}) + 7$

Для раскрытия скобок используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot \sqrt{2} + 7$

$= (9 - 6\sqrt{2} + 2) - 18 + 6\sqrt{2} + 7$

$= 11 - 6\sqrt{2} - 18 + 6\sqrt{2} + 7$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(11 - 18 + 7) + (-6\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0$

Результат равен 0, следовательно, число $3 - \sqrt{2}$ является корнем.

Ответ: является.

$-7 + \sqrt{2}$

Проверим число $-7 + \sqrt{2}$. Подставляем $x = -7 + \sqrt{2}$ в трёхчлен:

$(-7 + \sqrt{2})^2 - 6(-7 + \sqrt{2}) + 7$

Для раскрытия скобок используем формулу квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (рассматривая как $(\sqrt{2}-7)^2$):

$((-7)^2 + 2 \cdot (-7) \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - 6 \cdot (-7) - 6 \cdot \sqrt{2} + 7$

$= (49 - 14\sqrt{2} + 2) + 42 - 6\sqrt{2} + 7$

$= 51 - 14\sqrt{2} + 42 - 6\sqrt{2} + 7$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(51 + 42 + 7) + (-14\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) = 100 - 20\sqrt{2}$

Результат $100 - 20\sqrt{2}$ не равен 0, следовательно, число $-7 + \sqrt{2}$ не является корнем.

Ответ: не является.