Номер 602, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 602, страница 139.

602. Найдите корни квадратного трёхчлена:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2+x-6=0 \\ D=1^2-4·1·(-6)=1+24=25 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}, x=\frac{-1\pm 5}{2} \\ x=2 \text{или} x=-3 \\ \text{Ответ:} -3; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 9x^2-9x+2=0 \\ D={(-9)}^2-4·9·2=81-72=9 \\ x=\frac{9\pm \sqrt{9}}{18}, x=\frac{9\pm 3}{18} \\ x=\frac{12}{18} \text{или} x=\frac{1}{3} \\ x=\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{3}; \frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 0,2x^2+3x-20=0 \\ D=3^2-4·0,2·(-20)=9+16=25 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{0,4}; x=\frac{-3\pm 5}{0,4} \\ \begin{array}{lcl}x=\frac{2}{0,4}& \text{или}& x=-\frac{8}{0,4}\\ x=5& & x=-20\end{array} \\ \text{Ответ:} -20; 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} -2x^2-x-0,125=0 \\ D={(-1)}^2-4·(-2)·(-0,125)=1-1=0 \\ x=\frac{1}{-4} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 0,1x^2+0,4=0 \\ 0,1x^2=-0,4 \\ {x}^2=\frac{-0,4}{0,1} \\ {x}^2=-4 \\ \text{Ответ: корней нет} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} -0,3x^2+1,5x=0 \\ -0,3x(x-5)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-5=0\\ & & x=5\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 5 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $x^2 + x - 6$, приравняем его к нулю и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 + x - 6 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=1$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: $-3; 2$.

б) Приравняем трёхчлен $9x^2 - 9x + 2$ к нулю:
$9x^2 - 9x + 2 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=9$, $b=-9$, $c=2$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}; \frac{2}{3}$.

в) Приравняем трёхчлен $0,2x^2 + 3x - 20$ к нулю:
$0,2x^2 + 3x - 20 = 0$
Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x^2 + 15x - 100 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=15$, $c=-100$.
Вычислим дискриминант:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-15 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 + 25}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-15 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 - 25}{2} = \frac{-40}{2} = -20$
Ответ: $-20; 5$.

г) Приравняем трёхчлен $-2x^2 - x - 0,125$ к нулю:
$-2x^2 - x - 0,125 = 0$
Умножим обе части уравнения на -8, чтобы избавиться от десятичной дроби и отрицательного старшего коэффициента:
$16x^2 + 8x + 1 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=16$, $b=8$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$
Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Найдём его по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-8}{2 \cdot 16} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4}$
Можно также заметить, что левая часть является полным квадратом: $(4x+1)^2 = 0$, откуда $4x+1=0$ и $x = -1/4$.
Ответ: $-0,25$.

д) Приравняем трёхчлен $0,1x^2 + 0,4$ к нулю:
$0,1x^2 + 0,4 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесём свободный член в правую часть:
$0,1x^2 = -0,4$
Разделим обе части на 0,1:
$x^2 = -4$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, у этого уравнения нет действительных корней.
Проверим через дискриминант: $a=0.1, b=0, c=0.4$.
$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 0.1 \cdot 0.4 = -0.16$
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: корней нет.

е) Приравняем трёхчлен $-0,3x^2 + 1,5x$ к нулю:
$-0,3x^2 + 1,5x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(-0,3x + 1,5) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$
или
$-0,3x + 1,5 = 0$
$-0,3x = -1,5$
$x_2 = \frac{-1,5}{-0,3} = 5$
Ответ: $0; 5$.