Номер 605, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 605, страница 140.

605. Имеет ли квадратный трёхчлен корни и если имеет, то сколько:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} -4x^2-4x+3=0 \\ D={(-4)}^2-4·(-4)·3=16+48=64>0 \end{gathered}$$

Ответ: имеет два корня

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 4x^2-4x+3=0 \\ D={(-4)}^2-4·4·3=16-48=-32<0 \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 9x^2-12x+4=0 \\ D={(-12)}^2-4·9·4=144-144=0 \end{gathered}$$

Ответ: имеет один корень

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 9x^2-12x-4=0 \\ D={(-12)}^2-4·9·(-4)=144+144=288>0 \end{gathered}$$

Ответ: имеет два корня

Чтобы определить, имеет ли квадратный трёхчлен корни и если да, то сколько, необходимо вычислить его дискриминант. Для квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ дискриминант ($D$) вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, то трёхчлен имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, то трёхчлен имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, то трёхчлен не имеет действительных корней.

а) $-4x^2 - 4x + 3$

В данном трёхчлене коэффициенты: $a = -4$, $b = -4$, $c = 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 3 = 16 + 48 = 64$.
Так как $D = 64 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.

б) $4x^2 - 4x + 3$

В данном трёхчлене коэффициенты: $a = 4$, $b = -4$, $c = 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 - 48 = -32$.
Так как $D = -32 < 0$, квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
Ответ: не имеет корней.

в) $9x^2 - 12x + 4$

В данном трёхчлене коэффициенты: $a = 9$, $b = -12$, $c = 4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$.
Так как $D = 0$, квадратный трёхчлен имеет один корень.
Ответ: имеет один корень.

г) $9x^2 - 12x - 4$

В данном трёхчлене коэффициенты: $a = 9$, $b = -12$, $c = -4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 144 + 144 = 288$.
Так как $D = 288 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.