Номер 611, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 611, страница 140.

611. При каком значении x трёхчлен 2x² – 4x + 6 принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

$$\begin{gathered} 2x^2-4x+6=2(x^2-2x+3)= \\ =2(x^2-2·1·x+1-1+3)= \\ =2({(x-1)}^2+2)=2{(x-1)}^2+4 \end{gathered}$$

При x=1 трёхчлен принимает наименьшее значение $2·{(1-1)}^2+4=4$

Ответ: при x=1; значение равно 4

Чтобы найти, при каком значении $x$ трёхчлен $2x^2 - 4x + 6$ принимает наименьшее значение, и найти само это значение, рассмотрим данный трёхчлен как квадратичную функцию $y = 2x^2 - 4x + 6$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$, равный $a=2$, является положительным ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы. Наша задача — найти координаты вершины $(x_0, y_0)$.

При каком значении x трёхчлен $2x^2 - 4x + 6$ принимает наименьшее значение?

Значение $x$, при котором функция достигает своего минимума, — это абсцисса (координата x) вершины параболы. Она вычисляется по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае коэффициенты трёхчлена $2x^2 - 4x + 6$ равны: $a = 2$, $b = -4$, $c = 6$.

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = -\frac{-4}{4} = 1$

Ответ: при $x=1$.

Найдите это значение.

Наименьшее значение трёхчлена — это ордината (координата y) вершины параболы. Чтобы найти её, нужно подставить найденное значение $x_0 = 1$ в исходное выражение: $y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 6 = 2 \cdot 1 - 4 + 6 = 2 - 4 + 6 = 4$.

Также это значение можно найти методом выделения полного квадрата: $2x^2 - 4x + 6 = 2(x^2 - 2x) + 6 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 6 = 2(x-1)^2 - 2 + 6 = 2(x-1)^2 + 4$. Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $(x-1)^2 \ge 0$), и его наименьшее значение равно 0 (достигается при $x=1$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $2 \cdot 0 + 4 = 4$.

Ответ: 4.