Номер 613, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 613, страница 140.

613. (Задача-исследование.) Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь.

1) Обозначьте длину одного из катетов через x см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.

2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.

3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.

Пусть x см - длина одного катета, тогда (6-x)см - длина второго катета. Площадь треугольника вычислим по формуле:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}x(6-x)=\frac{1}{2}(6x-x^2)=-\frac{1}{2}(x^2-6x)= \\ =-\frac{1}{2}(x^2-2·3x+3^2-3^2)=-\frac{1}{2}({(x-3)}^2-9)= \\ =-\frac{1}{2}{(x-3)}^2+\frac{9}{2} \end{gathered}$$

При x=3 площадь принимает наибольшее значение равное $\frac{9}{2}=4,5$

Если x=3см - длина одного катета, тогда 6-3=3(см) - длина второго катета.

$S_{∆}=\frac{1}{2}·3·3=\frac{9}{2}=4,5\left({\text{см}}^2\right)$

Ответ: прямоугольный треугольник с катетами 3см и 3см имеет наибольшую площадь, равную 4,5см²

1) Обозначьте длину одного из катетов через x см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $x$ см. По условию, сумма длин катетов равна 6 см, следовательно, длина второго катета будет равна $(6 - x)$ см. Так как длина стороны треугольника должна быть положительным числом, то $x > 0$ и $6 - x > 0$, откуда следует, что $0 < x < 6$.
Площадь $S$ прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Составим выражение для площади $S$ как функцию от переменной $x$:
$S(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (6 - x)$.
Раскрыв скобки, получим: $S(x) = 3x - \frac{1}{2}x^2$.
Ответ: $S(x) = \frac{1}{2}x(6 - x)$.

2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.

Функция площади $S(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -\frac{1}{2} < 0$).
Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы. Координату $x_0$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находим по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a = -\frac{1}{2}$ и $b = 3$.
$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{3}{-1} = 3$.
Это значение $x=3$ входит в область допустимых значений $0 < x < 6$. При $x=3$ см длина одного катета равна 3 см, и длина второго катета также равна $6 - 3 = 3$ см. Таким образом, наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.
Ответ: Выражение принимает наибольшее значение при $x = 3$.

3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.

Для вычисления наибольшего значения площади подставим найденное значение $x=3$ в наше выражение для площади:
$S(3) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (6 - 3) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$.
Таким образом, наибольшая площадь, которую может иметь прямоугольный треугольник с суммой катетов 6 см, составляет 4,5 см$^2$.
Ответ: Наибольшее значение площади треугольника равно 4,5 см$^2$.