Номер 620, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 620, страница 144.

620. Докажите тождество:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 10x^2+19x-2=10(x-0,1)(x+2) \\ 10x^2+19x-2=0 \\ D={19}^2-4·10·(-2)=361+80=441 \\ x=\frac{-19\pm \sqrt{441}}{20}; x=\frac{-19\pm 21}{20} \\ x=0,1 \text{или} x=-2 \\ 10x^2+19x-2=10(x-0,1)(x+2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 0,5(x-6)(x-5)=0,5x^2-5,5x+15 \\ 0,5(x-6)(x-5)=0,5(x^2-5x-6x+30)= \\ =0,5(x^2-11x+30)=0,5x^2-5,5x+15 \end{gathered}$$

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его правую часть, выполнив умножение. Сначала раскроем скобки с двучленами:

$(x - 0,1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 - 0,1 \cdot x - 0,1 \cdot 2 = x^2 + 2x - 0,1x - 0,2 = x^2 + 1,9x - 0,2$.

Теперь умножим полученный многочлен на коэффициент 10:

$10(x^2 + 1,9x - 0,2) = 10 \cdot x^2 + 10 \cdot 1,9x - 10 \cdot 0,2 = 10x^2 + 19x - 2$.

В результате преобразований правая часть стала равна левой части исходного выражения: $10x^2 + 19x - 2 = 10x^2 + 19x - 2$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Сначала перемножим двучлены в скобках:

$(x - 6)(x - 5) = x \cdot x + x \cdot (-5) - 6 \cdot x + (-6) \cdot (-5) = x^2 - 5x - 6x + 30 = x^2 - 11x + 30$.

Теперь умножим полученный многочлен на коэффициент 0,5:

$0,5(x^2 - 11x + 30) = 0,5 \cdot x^2 - 0,5 \cdot 11x + 0,5 \cdot 30 = 0,5x^2 - 5,5x + 15$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества: $0,5x^2 - 5,5x + 15 = 0,5x^2 - 5,5x + 15$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.