Номер 622, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 622, страница 144.

622. Можно ли разложить на множители квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля числа?

Квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля число, имеет вид:

$a{x}^2+ax+a=0$

$D=a^2-4·a·a=a^2-4a^2=-3a^2<0$ при любом a≠0

Значит, разложить на множители такой трёхчлен нельзя

Ответ: нельзя

Чтобы определить, можно ли разложить квадратный трёхчлен на множители, необходимо проанализировать его дискриминант. Квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители с действительными коэффициентами тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Общий вид квадратного трёхчлена: $ax^2 + bx + c$, где $a \ne 0$.

По условию задачи, все коэффициенты трёхчлена равны между собой и являются отличными от нуля числами. Обозначим этот общий коэффициент буквой $k$, где $k \ne 0$. Таким образом, мы имеем $a = b = c = k$.

Наш квадратный трёхчлен принимает вид: $kx^2 + kx + k$.

Вычислим дискриминант $D$ для этого трёхчлена, используя стандартную формулу $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов $a=k$, $b=k$ и $c=k$ в формулу:

$D = k^2 - 4 \cdot k \cdot k = k^2 - 4k^2 = -3k^2$.

Теперь определим знак полученного дискриминанта. По условию, коэффициент $k$ — это отличное от нуля число ($k \ne 0$). Для любого действительного числа $k \ne 0$, его квадрат $k^2$ будет строго положительным числом ($k^2 > 0$).

Следовательно, выражение для дискриминанта $D = -3k^2$ всегда будет отрицательным, так как оно представляет собой произведение отрицательного числа (-3) на положительное число ($k^2$).

Поскольку дискриминант $D < 0$, это означает, что соответствующее квадратное уравнение $kx^2 + kx + k = 0$ не имеет действительных корней. А это, в свою очередь, значит, что данный квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: нет, нельзя разложить на множители квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля числа.