Номер 628, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 628, страница 145.

628. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{x^2-1}{2}-11x=11 /·2 \\ {x}^2-1-22x=22 \\ {x}^2-22x-1-22=0 \\ {x}^2-22x-23=0 \\ D={(-22)}^2-4·1·(-23)=484+92=576 \\ x=\frac{22\pm \sqrt{576}}{2}, x=\frac{22\pm 24}{2} \\ x=23 \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -1; 23 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{x^2+x}{2}=\frac{8x-7}{3} /·6 \\ 3(x^2+x)=2(8x-7) \\ 3x^2+3x=16x-14 \\ 3x^2+3x-16x+14=0 \\ 3x^2-13x+14=0 \\ D={(-13)}^2-4·3·14=169-168=1 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{1}}{6}, x=\frac{13\pm 1}{6} \\ x=\frac{14}{6} \text{или} x=2 \\ x=\frac{7}{3} \\ x=2\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 2; 2\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x-3=\frac{1-x^2}{3} /·3 \\ 3(x-3)=1-x^2 \\ 3x-9-1+x^2=0 \\ {x}^2+3x-10=0 \\ D=3^2-4·1·(-10)=9+40=49 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{2}; x=\frac{-3\pm 7}{2} \\ x=2 \text{или} x=-5 \\ \text{Ответ:} -5; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \frac{2-x^2}{7}=\frac{x}{2} /·14 \\ 2(2-x^2)=7x \\ 4-2x^2-7x=0 \\ -2x^2-7x+4=0 \\ D={(-7)}^2-4·(-2)·4=49+32=81 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{81}}{-4}; x=\frac{7\pm 9}{-4} \\ x=-4 \text{или} x=\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} -4; \frac{1}{2} \end{gathered}$$

а) $\frac{x^2-1}{2} - 11x = 11$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot (\frac{x^2-1}{2} - 11x) = 2 \cdot 11$

$x^2 - 1 - 22x = 22$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 22x - 1 - 22 = 0$

$x^2 - 22x - 23 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 1, b = -22, c = -23$

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576$

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{22 + 24}{2 \cdot 1} = \frac{46}{2} = 23$

$x_2 = \frac{22 - 24}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 23, x_2 = -1$.

б) $\frac{x^2+x}{2} = \frac{8x-7}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:

$6 \cdot \frac{x^2+x}{2} = 6 \cdot \frac{8x-7}{3}$

$3(x^2+x) = 2(8x-7)$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 3x = 16x - 14$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 3x - 16x + 14 = 0$

$3x^2 - 13x + 14 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$a = 3, b = -13, c = 14$

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{13 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

Ответ: $x_1 = 2\frac{1}{3}, x_2 = 2$.

в) $x-3 = \frac{1-x^2}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3:

$3(x-3) = 1-x^2$

$3x - 9 = 1-x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 3x - 9 - 1 = 0$

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна -3, а произведение -10. Подбором находим корни: -5 и 2.

Проверим через дискриминант:

$a = 1, b = 3, c = -10$

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$

$x_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -5$.

г) $\frac{2-x^2}{7} = \frac{x}{2}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2(2-x^2) = 7x$

Раскроем скобки:

$4 - 2x^2 = 7x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = 2x^2 + 7x - 4$

Или, что то же самое:

$2x^2 + 7x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$a = 2, b = 7, c = -4$

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

$x_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

Ответ: $x_1 = 0.5, x_2 = -4$.