Номер 3, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 3, страница 145.

3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении на множители квадратного трёхчлена, имеющего корни.

Если х₁ и х₂ – корни квадратного трёхчлена $a{x}^2+bx+c,$ то $a{x}^2+bx+c=a\left(x–x_1\right)\left(x–x_2\right).$

Вынесем за скобки в многочлене $a{x}^2+bx+cax²\; +\; bx\; +\; c$ множитель а. Получим

$a{x}^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right).$

Так как корни квадратного трёхчлена $a{x}^2+bx+cax²\; +\; bx\; +\; c$ являются корнями квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0,$ то по теореме Виета

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$

Отсюда

$\frac{b}{a}=-\left(x_1+x_2\right), \frac{c}{a}=x_1\cdot x_2.$

Поэтому

$$\begin{gathered} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1{x}_2= \\ =x^2-x_{1}x-x_{2}x+x_1{x}_2= \\ =x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right). \end{gathered}$$

Итак, $a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).$.

Сформулируйте

Теорема о разложении квадратного трёхчлена на множители. Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, то справедливо тождество:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Докажите

Пусть дан квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$. По условию теоремы, он имеет корни, а это значит, что его старший коэффициент $a \neq 0$.

1. Вынесем старший коэффициент $a$ за скобки в выражении $ax^2 + bx + c$:

$ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a})$

2. Корни $x_1$ и $x_2$ исходного трёхчлена являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. По теореме Виета, для этих корней справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

3. Подставим выражения для $\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$ из теоремы Виета в преобразованный трёхчлен:

$a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) = a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$

4. Раскроем скобки и выполним алгебраические преобразования выражения в правой части равенства. Сначала раскроем внутренние скобки:

$a(x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2)$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$a((x^2 - x_1x) - (x_2x - x_1x_2))$

Вынесем общие множители в каждой группе:

$a(x(x - x_1) - x_2(x - x_1))$

Вынесем общий множитель $(x - x_1)$:

$a((x - x_1)(x - x_2)) = a(x - x_1)(x - x_2)$

5. Таким образом, мы показали, что $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Была сформулирована и доказана теорема о разложении квадратного трёхчлена, имеющего корни. Формулировка: если $x_1$ и $x_2$ — корни трёхчлена $ax^2 + bx + c$, то $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Доказательство основано на вынесении старшего коэффициента $a$ за скобки и применении теоремы Виета.