Номер 636, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 636, страница 149.

636. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x-4}{x-5}+\frac{x-6}{x+5}=2\mathrm{/}\left(x-5\right)\left(x+5\right) \\ \left(x-4\right)\left(x+5\right)+\left(x-6\right)\left(x-5\right)=2\left(x-5\right)\left(x+5\right) \\ {x}^2+5x-4x-20+x^2-5x-6x+30=2\left(x^2-25\right) \\ 2x^2-10x+10-2x^2+50=0 \\ -10x+60=0 \\ -10x=-60 \\ x=6 \end{gathered}$$

Если x=6, то $\left(x-5\right)\left(x+5\right)=x^2-25=6^2-25=36-25=11\ne 0$

Ответ: 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12} \\ -\frac{1}{x-2}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3\left(x^2-4\right)} \end{gathered}$$

$-\frac{1}{x-2}-1-\frac{1}{x-2}+\frac{6-x}{3\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0$ $\mathrm{/}\cdot \left(x-2\right)\left(x+2\right)$

$$\begin{gathered} -\left(x+2\right)-\left(x-2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)+\frac{6-x}{3}=0\mathrm{/}\cdot 3 \\ -3\left(x+2\right)-3\left(x^2-4\right)-3\left(x+2\right)+6-x=0 \\ -3x-6-3x^2+12-3x-6+6-x=0 \\ -3x²-7x+6=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(+6\right)=49+72=+121 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{121}}{-6}; x=\frac{7\pm 11}{-6} \\ x=-3 \text{или} x=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Если x=-3, то (x-2)(x+2)=x²-4=(-3)²-4=9-4=5≠0,

если $x=\frac{2}{3},$ то $x^2-4={\left(\frac{2}{3}\right)}^2-4=\frac{4}{9}-4=\frac{4-36}{9}=\frac{-32}{9}\ne 0$

Ответ: -3; $\frac{2}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{7y-3}{y-y^2}=\frac{1}{y-1}-\frac{5}{y\left(y-1\right)} \\ \frac{7y-3}{y\left(1-y\right)}=\frac{1}{y-1}-\frac{5}{y\left(y-1\right)} \\ -\frac{7y-3}{y\left(y-1\right)}=\frac{1}{y-1}-\frac{5}{y\left(y-1\right)} /\cdot y\left(y-1\right) \\ -\left(7y-3\right)=y-5 \\ -7y+3-y+5=0 \\ -8y=-8 \\ y=1 \end{gathered}$$

Если y=1, то $y(y-1)=1·(1-1)=0$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{3}{y-2}+\frac{7}{y+2}=\frac{10}{y} /\cdot y\left(y-2\right)\left(y+2\right) \\ 3y\left(y+2\right)+7y\left(y-2\right)=10\left(y-2\right)\left(y+2\right) \\ 3y^2+6y+7y^2-14y=10\left(y^2-4\right) \\ 10y^2-8y=10y^2+40=0 \\ -8y=-40 \\ y=5 \end{gathered}$$

Если y=5, то $$\begin{gathered} y\left(y-2\right)\left(y+2\right)=y\left(y^2-4\right)=5\left(5^2-4\right)= \\ =5·21=105\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: 5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} \frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=3\frac{1}{3} \\ \frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{10}{3} /·3\left(x-3\right)\left(x+3\right) \\ 3{\left(x+3\right)}^2+3{\left(x-3\right)}^2=10\left(x-3\right)\left(x+3\right) \\ 3\left(x^2+6x+9\right)+3\left(x^2-6x+9\right)=10\left(x^2-9\right) \\ 3x^2+18x+27+3x^2-18x+27-10x^2+90=0 \\ -4x^2+144=0 \\ -4x^2=-144 \\ {x}^2=36 \\ x=6 \text{или} x=-6 \end{gathered}$$

Если $x=6x\; =\; 6$, то $$\begin{gathered} 3\left(x-3\right)\left(x+3\right)=3\left(x^2-9\right)=3\left(6^2-9\right)= \\ =3\left(36-9\right)=3\cdot 27=81\ne 0, \end{gathered}$$

Если $x=-6x\; =\; -6$, то $3\left(x^2-9\right)=3\left({\left(-6\right)}^2-9\right)=3\left(36-9\right)=3·27=81\ne 0$

Ответ: -6; 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{5x+7}{x-2}-\frac{2x+21}{x+2}=\frac{26}{3} /\cdot 3\left(x-2\right)\left(x+2\right) \\ 3\left(5x+7\right)\left(x+2\right)-3\left(2x+21\right)\left(x-2\right)=26\left(x-2\right)\left(x+2\right) \\ 3\left(5x^2+10x+7x+14\right)-3\left(2x^2-4x+21x-42\right)= \\ =26\left(x^2-4\right) \\ 15x^2+51x+42-6x^2-51x+126-26x^2+104=0 \\ -17x^2+272=0 \\ -17x^2=-272 \\ {x}^2=16 \\ x=4 \text{или} x=-4 \end{gathered}$$

Если x=-4, то $(x-2)(x+2)=x^2-4={(-4)}^2-4=16-4=12\ne 0,$

Если x=4, то $x^2-4=4^2-4=16-4=12\ne 0$

Ответ: -4; 4

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x-4}{x-5} + \frac{x-6}{x+5} = 2 $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $ x-5 \neq 0 $ и $ x+5 \neq 0 $. Отсюда $ x \neq 5 $ и $ x \neq -5 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-5)(x+5) = x^2 - 25 $:

$ (x-4)(x+5) + (x-6)(x-5) = 2(x-5)(x+5) $

Раскроем скобки:

$ (x^2 + 5x - 4x - 20) + (x^2 - 5x - 6x + 30) = 2(x^2 - 25) $

Приведем подобные слагаемые:

$ (x^2 + x - 20) + (x^2 - 11x + 30) = 2x^2 - 50 $

$ 2x^2 - 10x + 10 = 2x^2 - 50 $

Перенесем члены с $ x $ в одну сторону, а константы в другую:

$ 2x^2 - 2x^2 - 10x = -50 - 10 $

$ -10x = -60 $

$ x = \frac{-60}{-10} $

$ x = 6 $

Найденный корень $ x=6 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 5 $ и $ x \neq -5 $).

Ответ: 6.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2 - 12} $.

Преобразуем знаменатели: $ 2-x = -(x-2) $ и $ 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2) $.

Перепишем уравнение:

$ \frac{1}{-(x-2)} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} $

$ -\frac{1}{x-2} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} $

ОДЗ: $ x-2 \neq 0 $ и $ x+2 \neq 0 $, т.е. $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ -\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-2} - 1 + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0 $

$ -\frac{2}{x-2} - 1 + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0 $

Умножим обе части на общий знаменатель $ 3(x-2)(x+2) $:

$ -2 \cdot 3(x+2) - 1 \cdot 3(x-2)(x+2) + (6-x) = 0 $

$ -6(x+2) - 3(x^2-4) + 6 - x = 0 $

$ -6x - 12 - 3x^2 + 12 + 6 - x = 0 $

$ -3x^2 - 7x + 6 = 0 $

Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$ 3x^2 + 7x - 6 = 0 $

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 11}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm 11}{6} $

$ x_1 = \frac{-7+11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

$ x_2 = \frac{-7-11}{6} = \frac{-18}{6} = -3 $

Оба корня, $ x_1 = \frac{2}{3} $ и $ x_2 = -3 $, удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \pm 2 $).

Ответ: -3; $ \frac{2}{3} $.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{7y-3}{y-y^2} = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)} $.

Преобразуем знаменатель $ y-y^2 = y(1-y) = -y(y-1) $.

Уравнение принимает вид: $ \frac{7y-3}{-y(y-1)} = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)} $.

ОДЗ: $ y \neq 0 $ и $ y-1 \neq 0 $, т.е. $ y \neq 0 $ и $ y \neq 1 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ -y(y-1) $:

$ 7y-3 = -y(y-1) \cdot \frac{1}{y-1} - (-y(y-1)) \cdot \frac{5}{y(y-1)} $

$ 7y-3 = -y - (-5) $

$ 7y-3 = -y + 5 $

$ 7y+y = 5+3 $

$ 8y = 8 $

$ y = 1 $

Полученный корень $ y=1 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ y \neq 1 $). Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{3}{y-2} + \frac{7}{y+2} = \frac{10}{y} $.

ОДЗ: $ y \neq 2 $, $ y \neq -2 $, $ y \neq 0 $.

Общий знаменатель: $ y(y-2)(y+2) $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

$ 3y(y+2) + 7y(y-2) = 10(y-2)(y+2) $

Раскроем скобки:

$ 3y^2 + 6y + 7y^2 - 14y = 10(y^2 - 4) $

Приведем подобные слагаемые:

$ 10y^2 - 8y = 10y^2 - 40 $

$ -8y = -40 $

$ y = \frac{-40}{-8} $

$ y = 5 $

Корень $ y=5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5.

д)

Исходное уравнение: $ \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3} $.

Переведем смешанную дробь в неправильную: $ 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3} $.

ОДЗ: $ x-3 \neq 0 $ и $ x+3 \neq 0 $, т.е. $ x \neq \pm 3 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x+3}{x-3} $, тогда $ \frac{x-3}{x+3} = \frac{1}{t} $.

Уравнение примет вид: $ t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3} $.

Умножим на $ 3t $ (при $ t \neq 0 $):

$ 3t^2 + 3 = 10t $

$ 3t^2 - 10t + 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение относительно $ t $:

$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $

$ t_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{6} $

$ t_1 = \frac{18}{6} = 3 $

$ t_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Вернемся к исходной переменной $ x $.

Случай 1: $ \frac{x+3}{x-3} = 3 $

$ x+3 = 3(x-3) \implies x+3 = 3x-9 \implies 2x = 12 \implies x = 6 $.

Случай 2: $ \frac{x+3}{x-3} = \frac{1}{3} $

$ 3(x+3) = x-3 \implies 3x+9 = x-3 \implies 2x = -12 \implies x = -6 $.

Оба корня, $ x=6 $ и $ x=-6 $, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -6; 6.

е)

Исходное уравнение: $ \frac{5x+7}{x-2} - \frac{2x+21}{x+2} = 8\frac{2}{3} $.

Переведем смешанную дробь в неправильную: $ 8\frac{2}{3} = \frac{26}{3} $.

ОДЗ: $ x-2 \neq 0 $ и $ x+2 \neq 0 $, т.е. $ x \neq \pm 2 $.

Общий знаменатель: $ 3(x-2)(x+2) $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

$ 3(x+2)(5x+7) - 3(x-2)(2x+21) = 26(x-2)(x+2) $

Раскроем скобки:

$ 3(5x^2 + 10x + 7x + 14) - 3(2x^2 + 21x - 4x - 42) = 26(x^2 - 4) $

$ 3(5x^2 + 17x + 14) - 3(2x^2 + 17x - 42) = 26x^2 - 104 $

$ 15x^2 + 51x + 42 - 6x^2 - 51x + 126 = 26x^2 - 104 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 9x^2 + 168 = 26x^2 - 104 $

Перенесем члены с $ x^2 $ в одну сторону, а константы в другую:

$ 168 + 104 = 26x^2 - 9x^2 $

$ 272 = 17x^2 $

$ x^2 = \frac{272}{17} $

$ x^2 = 16 $

$ x = \pm \sqrt{16} $

$ x_1 = 4 $, $ x_2 = -4 $

Оба корня, $ x=4 $ и $ x=-4 $, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -4; 4.