Номер 640, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 640, страница 150.

640. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{21}{x+1}=\frac{16}{x-2}-\frac{6}{1} /·x\left(x+1\right)\left(x-2\right) \\ 21x\left(x-2\right)=16x\left(x+1\right)-6\left(x+1\right)\left(x-2\right) \\ 21x^2-42x=16x^2+16x-6\left(x^2-2x+x-2\right) \\ 21x^2-42x=16x^2+16x-6x^2+6x+12 \\ 21x^2-42x=10x^2+22x+12 \\ 11x^2-64x-12=0 \\ D={\left(-64\right)}^2-4·11·\left(-12\right)=4096+528=4624 \\ x=\frac{64\pm \sqrt{4624}}{22}; x=\frac{64\pm 68}{22} \\ \begin{array}{ccl}x=6& \text{или}& x=-\frac{4}{22}\\ & & x=-\frac{2}{11}\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=6 x\; =\; 6$, то $x\left(x+1\right)\left(x-2\right)=6·\left(6+1\right)·\left(6-2\right)\mathrm{\ne }0 x(x+1)(x-2)\; =\; 6\; \backslash cdot\; (6+1)\; \backslash cdot\; (6-2)\; \backslash neq\; 0$,

если $x=-{\displaystyle \frac{2}{11}} x\; =\; -\; \backslash frac\{2\}\{11\}$, то $x\left(x+1\right)\left(x-2\right)=-{\displaystyle \frac{2}{11}}\left(-{\displaystyle \frac{2}{11}}+1\right)\left(-{\displaystyle \frac{2}{11}}-2\right)\mathrm{\ne }0 x(x+1)(x-2)\; =\; -\; \backslash frac\{2\}\{11\}\; (-\backslash frac\{2\}\{11\}\; +\; 1)\; (-\backslash frac\{2\}\{11\}\; -\; 2)\; \backslash neq\; 0$

Other: $-\frac{2}{11}; 6$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2}{y^2-3y}-\frac{1}{y-3}=\frac{5}{y^3-9y} \\ \frac{2}{y\left(y-2\right)}-\frac{1}{y-3}=\frac{5}{y\left(y^2-9\right)} \\ \frac{2}{y\left(y-2\right)}-\frac{1}{y-3}=\frac{5}{y\left(y-3\right)\left(y+3\right)} /·y\left(y-3\right)\left(y+3\right) \\ 2\left(y+3\right)-y\left(y+3\right)=5 \\ 2y+6-y^2-3y-5=0 \\ -y^2-y+1=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·\left(-1\right)·1=1+4=5 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{5}}{-2}; y=-\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} \\ y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\text{или}y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

Если $y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$, то

$$\begin{gathered} y\left(y-3\right)\left(y+3\right)=y(y^2-9)= \\ =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left({\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)}^2-9\right)\ne 0, \end{gathered}$$

Если $y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, то $y\left(y^2-9\right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left({\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2-9\right)\ne 0$

Other: $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$\mathbf{\text{в) }}\frac{18}{4x^2+4x+1}-\frac{1}{2x^2-x}=\frac{6}{4x^2-1}$

$\frac{18}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{1}{x\left(2x-1\right)}=\frac{6}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}$ $/·x{\left(2x+1\right)}^2\left(2x-1\right)$

$$\begin{gathered} 18x\left(2x-1\right)-{\left(2x+1\right)}^2=6x\left(2x+1\right) \\ 36x^2-18x-\left(4x^2+4x+1\right)=12x^2+6x \\ 36x^2-18x-4x^2-4x-1-12x^2-6x=0 \\ 20x^2-28x-1=0 \\ D={\left(-28\right)}^2-4·20·\left(-1\right)=784+80=864 \\ x=\frac{28\pm \sqrt{864}}{40}; x=\frac{28\pm \sqrt{144·6}}{40} \\ x=\frac{28\pm 12\sqrt{6}}{40}; x=\frac{4\left(7\pm 3\sqrt{6}\right)}{40} \\ {x}_1=\frac{7+3\sqrt{6}}{10}; x_2=\frac{7-3\sqrt{6}}{10} \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{7+3\sqrt{6}}{10}} x\; =\; \backslash frac\{7\; +\; 3\backslash sqrt\{6\}\}\{10\}$, то

$$\begin{gathered} x{\left(2x+1\right)}^2\left(2x-1\right)=\frac{7+3\sqrt{6}}{10}{\left(2·\frac{7+3\sqrt{6}}{10}+1\right)}^2\times \\ \times \left(2·\frac{7+3\sqrt{6}}{10}-1\right)\ne 0 \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{7-3\sqrt{6}}{10}} x\; =\; \backslash frac\{7\; -\; 3\backslash sqrt\{6\}\}\{10\}$, то

$$\begin{gathered} x{\left(2x+1\right)}^2\left(2x-1\right)=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}{\left(2·\frac{7-3\sqrt{6}}{10}+1\right)}^2\times \\ \times \left(2·\frac{7-3\sqrt{6}}{10}-1\right)\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{7+3\sqrt{6}}{10}; \frac{7-3\sqrt{6}}{10}$

$\mathbf{\text{г) }}\frac{3\left(4y^2+10y-7\right)}{16y^2-9}=\frac{3y-7}{3-4y}+\frac{6y+5}{3+4y}$

$\frac{3\left(4y^2+10y-7\right)}{\left(4y-3\right)\left(4y+3\right)}=-\frac{3y-7}{4y-3}+\frac{6y+5}{4y+3}$$/·\left(4y·3\right)\left(4y+3\right)$

$$\begin{gathered} 3\left(4y^2+10y-7\right)=-\left(3y-7\right)\left(4y+3\right)+\left(6y+5\right)\left(4y-3\right) \\ 12y^2+30y-21=-\left(12y^2+9y-28y-21\right)+ \\ +24y^2-18y+20y-15 \\ 12y^2+30y-21=-12y^2+19y+21+24y^2+2y-15 \\ 12y^2+30y-21=12y^2+21y+6 \\ 12y^2+30y-21-12y^2-21y-6=0 \\ 9y-27=0 \\ 9y=27 \\ y=3 \end{gathered}$$

Если y=3, то

$$\begin{gathered} (4y-3)(4y+3)=16y^2-9=16·3^2-9= \\ =16·9-9=9(16-1)=9·15=135\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: 3

а) $ \frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$x \neq 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $x(x-2)$:

$ \frac{21}{x+1} = \frac{16x - 6(x-2)}{x(x-2)} $

$ \frac{21}{x+1} = \frac{16x - 6x + 12}{x(x-2)} $

$ \frac{21}{x+1} = \frac{10x + 12}{x(x-2)} $

Воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):

$ 21 \cdot x(x-2) = (10x + 12)(x+1) $

Раскроем скобки:

$ 21x^2 - 42x = 10x^2 + 10x + 12x + 12 $

$ 21x^2 - 42x = 10x^2 + 22x + 12 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$ 21x^2 - 10x^2 - 42x - 22x - 12 = 0 $

$ 11x^2 - 64x - 12 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-12) = 4096 + 528 = 4624 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{4624} = 68 $

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 68}{2 \cdot 11} = \frac{132}{22} = 6 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 68}{2 \cdot 11} = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6; -\frac{2}{11}$.

б) $ \frac{2}{y^2 - 3y} - \frac{1}{y - 3} = \frac{5}{y^3 - 9y} $

Разложим знаменатели на множители и определим ОДЗ:

$y^2 - 3y = y(y - 3)$

$y^3 - 9y = y(y^2 - 9) = y(y-3)(y+3)$

Знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому:

$y \neq 0; \quad y-3 \neq 0 \Rightarrow y \neq 3; \quad y+3 \neq 0 \Rightarrow y \neq -3$.

ОДЗ: $y \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{2}{y(y-3)} - \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y(y-3)(y+3)} $

Общий знаменатель: $y(y-3)(y+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$ 2(y+3) - 1 \cdot y(y+3) = 5 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 2y + 6 - y^2 - 3y = 5 $

$ -y^2 - y + 6 - 5 = 0 $

$ -y^2 - y + 1 = 0 $

Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$ y^2 + y - 1 = 0 $

Решим уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{5} $

$ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $

$ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} $

Оба корня не равны 0, 3 или -3, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $.

в) $ \frac{18}{4x^2 + 4x + 1} - \frac{1}{2x^2 - x} = \frac{6}{4x^2 - 1} $

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:

$4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2$

$2x^2 - x = x(2x-1)$

$4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1)$

Из ОДЗ исключаются значения x, при которых знаменатели равны нулю:

$2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1/2$

$x \neq 0$

$2x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1/2$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (-1/2; 0) \cup (0; 1/2) \cup (1/2; +\infty)$.

Перепишем уравнение:

$ \frac{18}{(2x+1)^2} - \frac{1}{x(2x-1)} = \frac{6}{(2x-1)(2x+1)} $

Общий знаменатель: $x(2x-1)(2x+1)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$ 18x(2x-1) - 1(2x+1)^2 = 6x(2x+1) $

Раскроем скобки:

$ 36x^2 - 18x - (4x^2 + 4x + 1) = 12x^2 + 6x $

$ 36x^2 - 18x - 4x^2 - 4x - 1 = 12x^2 + 6x $

$ 32x^2 - 22x - 1 = 12x^2 + 6x $

Перенесем все в левую часть:

$ 32x^2 - 12x^2 - 22x - 6x - 1 = 0 $

$ 20x^2 - 28x - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 784 + 80 = 864 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{864} = \sqrt{144 \cdot 6} = 12\sqrt{6} $

$ x_1 = \frac{28 + 12\sqrt{6}}{2 \cdot 20} = \frac{28 + 12\sqrt{6}}{40} = \frac{4(7 + 3\sqrt{6})}{40} = \frac{7 + 3\sqrt{6}}{10} $

$ x_2 = \frac{28 - 12\sqrt{6}}{2 \cdot 20} = \frac{28 - 12\sqrt{6}}{40} = \frac{4(7 - 3\sqrt{6})}{40} = \frac{7 - 3\sqrt{6}}{10} $

Найденные корни не совпадают с ограничениями ОДЗ ($x \neq 0, \pm 1/2$).

Ответ: $ \frac{7 \pm 3\sqrt{6}}{10} $.

г) $ \frac{3(4y^2 + 10y - 7)}{16y^2 - 9} = \frac{3y-7}{3-4y} + \frac{6y+5}{3+4y} $

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:

$16y^2 - 9 = (4y-3)(4y+3)$

$3-4y = -(4y-3)$

$3+4y = 4y+3$

ОДЗ: $4y-3 \neq 0 \Rightarrow y \neq 3/4$ и $4y+3 \neq 0 \Rightarrow y \neq -3/4$.

Преобразуем уравнение, приведя знаменатели к одному виду:

$ \frac{3(4y^2 + 10y - 7)}{(4y-3)(4y+3)} = -\frac{3y-7}{4y-3} + \frac{6y+5}{4y+3} $

Приведем правую часть к общему знаменателю $(4y-3)(4y+3)$:

$ \frac{3(4y^2 + 10y - 7)}{(4y-3)(4y+3)} = \frac{-(3y-7)(4y+3) + (6y+5)(4y-3)}{(4y-3)(4y+3)} $

Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:

$ 3(4y^2 + 10y - 7) = -(3y-7)(4y+3) + (6y+5)(4y-3) $

Раскроем скобки:

$ 12y^2 + 30y - 21 = -(12y^2 + 9y - 28y - 21) + (24y^2 - 18y + 20y - 15) $

$ 12y^2 + 30y - 21 = -(12y^2 - 19y - 21) + (24y^2 + 2y - 15) $

$ 12y^2 + 30y - 21 = -12y^2 + 19y + 21 + 24y^2 + 2y - 15 $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 12y^2 + 30y - 21 = (24y^2 - 12y^2) + (19y + 2y) + (21 - 15) $

$ 12y^2 + 30y - 21 = 12y^2 + 21y + 6 $

Сократим $12y^2$ с обеих сторон:

$ 30y - 21 = 21y + 6 $

Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:

$ 30y - 21y = 6 + 21 $

$ 9y = 27 $

$ y = \frac{27}{9} = 3 $

Корень $y=3$ удовлетворяет ОДЗ ($y \neq \pm 3/4$).

Ответ: $3$.