Номер 642, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 642, страница 150.

642. Решите графически уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{6}{x}=x \\ y=\frac{6}{x} \end{gathered}$$

Область определения: все числа, кроме 0

x	1	2	3	6	-1	-2	-3	-6
y	6	3	2	1	-6	-3	-2	-1

y=x

x	0	2
y	0	2

Ответ: ≈-2,4; ≈2,4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{6}{x}=-x+6 \\ y=\frac{6}{x} \end{gathered}$$

x	1	2	3	6	-1	-2	-3	-6
y	6	3	2	1	-6	-3	-2	-1

y=-x+6

x	0	6
y	6	0

Ответ: ≈1,2; ≈4,9

а) Для того чтобы решить уравнение $ \frac{6}{x} = x $ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $ y = \frac{6}{x} $ и $ y = x $. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

1. График функции $ y = \frac{6}{x} $ — это гипербола. Поскольку коэффициент $ k=6 > 0 $, её ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения графика найдем несколько точек: (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1), а также (-1; -6), (-2; -3), (-3; -2), (-6; -1).

2. График функции $ y = x $ — это прямая, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Она проходит через начало координат (0; 0) и, например, точку (4; 4).

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках, симметричных относительно начала координат. Одна точка пересечения находится в первой четверти, а другая — в третьей. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения. Для нахождения точных значений решим уравнение аналитически, так как из графика можно определить их лишь приблизительно.

$ \frac{6}{x} = x $
При условии $ x \neq 0 $, умножим обе части на $x$:
$ 6 = x^2 $
$ x^2 = 6 $
$ x_1 = \sqrt{6} $, $ x_2 = -\sqrt{6} $.

Таким образом, графики пересекаются в точках, абсциссы которых равны $ \sqrt{6} $ и $ -\sqrt{6} $.

Ответ: $ x_1 = \sqrt{6}, x_2 = -\sqrt{6} $.

б) Для решения уравнения $ \frac{6}{x} = -x + 6 $ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $ y = \frac{6}{x} $ и $ y = -x + 6 $. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $ y = \frac{6}{x} $ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях, как и в предыдущем задании.

2. График функции $ y = -x + 6 $ — это прямая. Для её построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат:
при $ x = 0 $, $ y = -0 + 6 = 6 $. Точка (0; 6).
при $ y = 0 $, $ 0 = -x + 6 \implies x = 6 $. Точка (6; 0).

Построим оба графика в одной системе координат. Прямая $ y = -x + 6 $ пересекает ветвь гиперболы, расположенную в I координатной четверти, в двух точках. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения. Поскольку по графику найти точные значения корней затруднительно, решим уравнение аналитически.

$ \frac{6}{x} = -x + 6 $
При $ x \neq 0 $, умножим обе части на $x$:
$ 6 = -x^2 + 6x $
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ x^2 - 6x + 6 = 0 $
Найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12 $
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} $.

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков равны $ 3 - \sqrt{3} $ и $ 3 + \sqrt{3} $.

Ответ: $ x_1 = 3 - \sqrt{3}, x_2 = 3 + \sqrt{3} $.