Номер 639, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 639, страница 150.

639. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{10}{\left(x-5\right)\left(x+1\right)}+\frac{3}{x+1}=\frac{3}{x-5} /·\left(x-5\right)\left(x+1\right) \\ 10+x\left(x-5\right)=3\left(x+1\right) \\ 10+x^2-5x=3x+3 \\ {x}^2-5x-3x-3+10=0 \\ {x}^2-8x+7=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·1·7=64-28=36 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{36}}{2}; x=\frac{8\pm 6}{2} \\ x=7\text{ или }x=1 \end{gathered}$$

Если $x=7x\; =\; 7$, то $\left(x-5\right)\left(x+1\right)=\left(7-5\right)\left(7+1\right)=2·8=16\ne 0,$

если $x=1x\; =\; 1$, то $\left(x-5\right)\left(x+1\right)=\left(1-5\right)\left(1+1\right)=-4·2=-8\ne 0$

Ответ: 1; 7

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{17}{\left(x-3\right)\left(x+4\right)}-\frac{1}{x-3}=\frac{x}{x+4} /·\left(x-3\right)\left(x+4\right) \\ 17-\left(x+4\right)=x\left(x-3\right) \\ 17-x-4=x^2-3x \\ {x}^2-3x+x+4-17=0 \\ {x}^2-2x-13=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-13\right)=4+52=56 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{56}}{2}; x=\frac{2\pm 2\sqrt{14}}{2} \\ {x}_1=1+\sqrt{14}; x_2=1-\sqrt{14} \end{gathered}$$

Если $x=1+\sqrt{14}x\; =\; 1\; +\; \backslash sqrt\{14\}$, то $$\begin{gathered} \left(x-3\right)\left(x+4\right)=\left(1+\sqrt{14}-3\right)\left(1+\sqrt{14}+4\right)=(x-3)(x+4)\; =\; (1\; +\; \backslash sqrt\{14\}\; -\; 3)(1\; +\; \backslash sqrt\{14\}\; +\; 4)\; = \\ \left(\sqrt{14}-2\right)\left(\sqrt{14}+5\right)\mathrm{\ne }0(\backslash sqrt\{14\}\; -\; 2)(\backslash sqrt\{14\}\; +\; 5)\; \backslash ne\; 0 \end{gathered}$$

Если $x=1-\sqrt{14}x\; =\; 1\; -\; \backslash sqrt\{14\}$, то $$\begin{gathered} \left(x-3\right)\left(x+4\right)=\left(1-\sqrt{14}-3\right)\left(1-\sqrt{14}+4\right)=(x-3)(x+4)\; =\; (1\; -\; \backslash sqrt\{14\}\; -\; 3)(1\; -\; \backslash sqrt\{14\}\; +\; 4)\; = \\ \left(-\sqrt{14}-2\right)\left(5-\sqrt{14}\right)\mathrm{\ne }0(-\backslash sqrt\{14\}\; -\; 2)(5\; -\; \backslash sqrt\{14\})\; \backslash ne\; 0 \end{gathered}$$

Ответ: $1+\sqrt{14}, 1-\sqrt{14}$

$\mathbf{\text{в) }}\frac{4}{{\left(x+1\right)}^{\mathbf{2}}}-\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{x-1}=0$

$\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=0$ $/·{\left(x+1\right)}^2{\left(x-1\right)}^2$

$$\begin{gathered} 4{\left(x-1\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0 \\ 4\left(x^2-2x+1\right)-\left(x^2+2x+1\right)+x^2-1=0 \\ 4x^2-8x+4-x^2-2x-1+x^2-1=0 \\ 4x^2-10x+2=0 \\ D={\left(-10\right)}^2-4·4·2=100-32=68 \\ x=\frac{10\pm \sqrt{68}}{8}; x=\frac{10\pm 2\sqrt{17}}{8}; x=\frac{2\left(5\pm \sqrt{17}\right)}{8} \\ x=\frac{5+\sqrt{17}}{4}\text{ или }x=\frac{5-\sqrt{17}}{4} \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{4}}x\; =\; \backslash frac\{5\; +\; \backslash sqrt\{17\}\}\{4\}$, то ${\left(x+1\right)}^2{\left(x-1\right)}^2={\left(\frac{5+\sqrt{17}}{4}+1\right)}^2{\left(\frac{5+\sqrt{17}}{4}-1\right)}^2\ne 0,$

Если $x={\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{4}}x\; =\; \backslash frac\{5\; -\; \backslash sqrt\{17\}\}\{4\}$, то ${\left(x+1\right)}^2{\left(x-1\right)}^2={\left(\frac{5-\sqrt{17}}{4}+1\right)}^2{\left(\frac{5-\sqrt{17}}{4}-1\right)}^2\ne 0$

Ответ: $\frac{5+\sqrt{17}}{4}; \frac{5-\sqrt{17}}{4}$

$\mathbf{\text{г) }}\frac{4}{9x^2-1}+\frac{1}{3x^2-x}=\frac{4}{9x^2-6x+1}$

$\frac{4}{\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}+\frac{1}{x\left(3x-1\right)}=\frac{4}{{\left(3x-1\right)}^2}$ $/·x{\left(3x-1\right)}^2\left(3x+1\right)$

$$\begin{gathered} 4x\left(3x-1\right)+\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)=4x\left(3x+1\right) \\ 12x^2-4x+9x^2-1=12x^2+4x \\ 12x^2-4x+9x^2-1-12x^2-4x=0 \\ 9x^2-8x-1=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·9·\left(-1\right)=64+36=100 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{100}}{18}; x=\frac{8\pm 10}{18} \\ x=1\text{ или }x=-\frac{1}{9} \end{gathered}$$

Если $x=1x\; =\; 1$, то $x{\left(3x-1\right)}^2\left(3x+1\right)=1{\left(3·1-1\right)}^2\left(3·1+1\right)=4·4=16\ne 0$

Если $x=-{\displaystyle \frac{1}{9}}x\; =\; -\backslash frac\{1\}\{9\}$, то

$$\begin{gathered} x{\left(3x-1\right)}^2\left(3x+1\right)=-\frac{1}{9}{\left(3\left(-\frac{1}{9}\right)-1\right)}^2\times \\ \times \left(3\left(-\frac{1}{9}\right)+1\right)=-\frac{1}{9}{\left(-\frac{1}{3}-1\right)}^2\left(-\frac{1}{3}+1\right)= \\ =-\frac{1}{9}·{\left(-\frac{4}{3}\right)}^2·\frac{2}{3}=-\frac{1}{9}·\frac{16}{9}·\frac{2}{3}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $-\frac{1}{9}; 1$

а) $\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому: $x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$ $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -1$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x-5)(x+1)$. Для этого домножим второй член на $(x-5)$, а третий член на $(x+1)$: $\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x(x-5)}{(x-5)(x+1)} = \frac{3(x+1)}{(x-5)(x+1)}$

Так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числители: $10 + x(x-5) = 3(x+1)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение: $10 + x^2 - 5x = 3x + 3$ $x^2 - 5x - 3x + 10 - 3 = 0$ $x^2 - 8x + 7 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 + x_2 = 8$ $x_1 \cdot x_2 = 7$ Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ. Оба корня ($1$ и $7$) не равны $5$ и $-1$, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $1; 7$.

б) $\frac{17}{(x-3)(x+4)} - \frac{1}{x-3} = \frac{x}{x+4}$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю. $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$ $x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$ ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -4$.

Общий знаменатель: $(x-3)(x+4)$. Домножим члены уравнения на недостающие множители: $\frac{17}{(x-3)(x+4)} - \frac{1(x+4)}{(x-3)(x+4)} = \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+4)}$

Приравняем числители: $17 - (x+4) = x(x-3)$

Раскроем скобки и решим уравнение: $17 - x - 4 = x^2 - 3x$ $13 - x = x^2 - 3x$ $x^2 - 3x + x - 13 = 0$ $x^2 - 2x - 13 = 0$

Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 14}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 1 \pm \sqrt{14}$

Корни $x_1 = 1 + \sqrt{14}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{14}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1 \pm \sqrt{14}$.

в) $\frac{4}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2-1} = 0$

Преобразуем знаменатель последнего члена: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$ и $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Общий знаменатель: $(x+1)^2(x-1)^2$. Умножим все уравнение на него: $4(x-1)^2 - 1(x+1)^2 + 1(x-1)(x+1) = 0$

Раскроем скобки: $4(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 1) = 0$ $4x^2 - 8x + 4 - x^2 - 2x - 1 + x^2 - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые: $(4x^2 - x^2 + x^2) + (-8x - 2x) + (4 - 1 - 1) = 0$ $4x^2 - 10x + 2 = 0$ Разделим уравнение на 2 для упрощения: $2x^2 - 5x + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Корни $x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$ и $x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$ не равны $\pm 1$, поэтому удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$.

г) $\frac{4}{9x^2-1} + \frac{1}{3x^2-x} = \frac{4}{9x^2-6x+1}$

Разложим знаменатели на множители: $9x^2-1 = (3x-1)(3x+1)$ $3x^2-x = x(3x-1)$ $9x^2-6x+1 = (3x-1)^2$

Уравнение принимает вид: $\frac{4}{(3x-1)(3x+1)} + \frac{1}{x(3x-1)} = \frac{4}{(3x-1)^2}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $3x-1 \neq 0 \implies x \neq 1/3$, $3x+1 \neq 0 \implies x \neq -1/3$.

Общий знаменатель: $x(3x+1)(3x-1)^2$. Умножим уравнение на него: $4x(3x-1) + 1(3x+1)(3x-1) = 4x(3x+1)$

Раскроем скобки и упростим: $12x^2 - 4x + 9x^2 - 1 = 12x^2 + 4x$ $21x^2 - 4x - 1 = 12x^2 + 4x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные: $21x^2 - 12x^2 - 4x - 4x - 1 = 0$ $9x^2 - 8x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 = 10^2$ $x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$ $x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{18} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}$

Оба корня ($1$ и $-1/9$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, \pm 1/3$).

Ответ: $1; -\frac{1}{9}$.