Номер 634, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 634, страница 149.

634. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{3x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}=1/\cdot \left(x+2\right)\left(x-2\right) \\ \left(3x+1\right)\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x+2\right)\left(x-2\right) \\ 3x^2-6x+x-2-\left(x^2+2x-x-2\right)=x^2-4 \\ 3x^2-5x-2-\left(x^2+x-2\right)=x^2-4 \\ 3x^2-5x-2-x^2-x+2-x^2+4=0 \\ {x}^2-6x+4=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=36-16=20 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{20}}{2};x=\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2} \\ {x}_1=3+\sqrt{5};x_2=3-\sqrt{5} \end{gathered}$$

Если $x=3+\sqrt{5}x\; =\; 3\; +\; \backslash sqrt\{5\}$, то $$\begin{gathered} \left(x+2\right)\left(x-2\right)=x^2-4={\left(3+\sqrt{5}\right)}^2-4= \\ =9+6\sqrt{5}+5-4=10+6\sqrt{5}\ne 0, \end{gathered}$$

если $x=3-\sqrt{5}x\; =\; 3\; -\; \backslash sqrt\{5\}$, то $$\begin{gathered} x^2-4={\left(3-\sqrt{5}\right)}^2-4=9-6\sqrt{5}+ \\ +5-4=10-6\sqrt{5}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $3+\sqrt{5}3\; +\; \backslash sqrt\{5\}$; $3-\sqrt{5}3\; -\; \backslash sqrt\{5\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2y-2}{y+3}+\frac{y+3}{y-3}=5/\cdot \left(y+3\right)\left(y-3\right) \\ \left(2y-2\right)\left(y-3\right)+{\left(y+3\right)}^2=5\left(y+3\right)\left(y-3\right) \\ 2y^2-6y-2y+6+y^2+6y+9=5\left(y^2-9\right) \\ 3y^2-2y+15-5y^2+45=0 \\ -2y^2-2y+60=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 60=4+480=484 \\ y=\frac{2\pm \sqrt{484}}{-4};y=\frac{2\pm 22}{-4} \\ {y}_1=-6;y_2=5 \end{gathered}$$

Если $y=-6y\; =\; -6$, то $\left(y+3\right)\left(y-3\right)=y^2-9={\left(-6\right)}^2-9=36-9=27\ne 0,$

если $y=5y\; =\; 5$, то $y^2-9=5^2-9=25-9=16\ne 0$

Ответ: -6; 5

$\mathbf{\text{в) }}\frac{4}{9y^2-1}-\frac{4}{3y+1}=\frac{5}{1-3y}$
$\frac{4}{\left(3y-1\right)\left(3y+1\right)}-\frac{4}{3y+1}=-\frac{5}{3y-1}$$\mathrm{/}\left(3y-1\right)\left(3y+1\right)$

$$\begin{gathered} 4-4\left(3y-1\right)=-5\left(3y+1\right) \\ 4-12y+4=-15y-5 \\ -12y+15y=-5-8 \\ 3y=-13 \\ y=-\frac{13}{3} \\ y=-4\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $y=-4{\displaystyle \frac{1}{3}}y\; =\; -4\backslash frac\{1\}\{3\}$, то

$$\begin{gathered} \left(3y-1\right)\left(3y+1\right)=9y^2-1= \\ =9·{\left(-\frac{13}{3}\right)}^2-1=9·\frac{169}{9}-1=168\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $-4{\displaystyle \frac{1}{3}}-4\backslash frac\{1\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{4}{x+3}-\frac{5}{3-x}=\frac{1}{x-3}-1 \\ \frac{4}{x+3}+\frac{5}{x-3}=\frac{1}{x-3}-1\mathrm{/}\cdot \left(x+3\right)\left(x-3\right) \\ 4\left(x-3\right)+5\left(x+3\right)=x+3-\left(x+3\right)\left(x-3\right) \\ 4x-12+5x+15=x+3-\left(x^2-9\right) \\ 9x+3=x+3-x^2+9 \\ {x}^2+9x+3-x-12=0 \\ {x}^2+8x-9=0 \\ D=8^2-4·1·\left(-9\right)=64+36=100 \\ x=\frac{-8\pm \sqrt{100}}{2},x=\frac{-8\pm 10}{2} \\ x=1\text{или}x=-9 \end{gathered}$$

Если $x=1x\; =\; 1$, то $\left(x+3\right)\left(x-3\right)=x^2-9=1^2-9=-8\mathrm{\ne }0(x+3)(x-3)\; =\; x^2\; -\; 9\; =\; 1^2\; -\; 9\; =\; -8\; \backslash neq\; 0$,

если $x=-9x\; =\; -9$, то $x^2-9={\left(-9\right)}^2-9=81-9=72\ne 0$

Ответ: $-9;1-9;\; 1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{3}{x}+\frac{4}{x-1}=\frac{5-x}{x^2-x} \\ \frac{3}{x}+\frac{4}{x-1}=\frac{5-x}{x\left(x-1\right)} \mathrm{/}\cdot x\left(x-1\right) \\ 3\left(x-1\right)+4x=5-x \\ 3x-3+4x+x=5 \\ 8x=8 \\ x=1 \end{gathered}$$

Если $x=1 x=1$, то $x\left(x-1\right)=1·\left(1-1\right)=0$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{3y-2}{y}-\frac{1}{y-2}=\frac{3y+4}{y^2-2y} \\ \frac{3y-2}{y}-\frac{1}{y-2}=\frac{3y+4}{y\left(y-2\right)} \mathrm{/}\cdot y\left(y-2\right) \\ \left(3y-2\right)\left(y-2\right)-y=3y+4 \\ 3y^2-6y-2y+4-y-3y=4 \\ 3y^2-12y=0 \\ 3y\left(y-4\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}y=0& \text{или}& y-4=0\\ & & y=4\end{array} \end{gathered}$$

Если $y=0 y\; =\; 0$, то $y\left(y-2\right)=0·\left(0-2\right)=0,$,

если $y=4 y\; =\; 4$, то $y\left(y-2\right)=4\left(4-2\right)=4·2=8\ne 0$

Ответ: 4

a) $\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель:

$(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2) = 1 \cdot (x+2)(x-2)$

Раскроем скобки:

$(3x^2 - 6x + x - 2) - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4$

$(3x^2 - 5x - 2) - (x^2 + x - 2) = x^2 - 4$

$3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 6x = x^2 - 4$

$x^2 - 6x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.

Оба корня, $3 + \sqrt{5}$ и $3 - \sqrt{5}$, не равны 2 или -2, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3 + \sqrt{5}; 3 - \sqrt{5}$.

б) $\frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5$

ОДЗ: $y+3 \neq 0$ и $y-3 \neq 0$, следовательно, $y \neq -3$ и $y \neq 3$.

Общий знаменатель: $(y+3)(y-3) = y^2 - 9$. Умножим обе части уравнения на него:

$(2y-2)(y-3) + (y+3)(y+3) = 5(y^2 - 9)$

Раскроем скобки:

$(2y^2 - 6y - 2y + 6) + (y^2 + 6y + 9) = 5y^2 - 45$

Приведем подобные слагаемые:

$3y^2 - 2y + 15 = 5y^2 - 45$

$2y^2 + 2y - 60 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$y^2 + y - 30 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -30, а сумма -1. Корни уравнения: $y_1 = -6$ и $y_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq \pm 3$).

Ответ: -6; 5.

в) $\frac{4}{9y^2 - 1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y}$

Разложим знаменатели на множители: $9y^2-1 = (3y-1)(3y+1)$ и $1-3y = -(3y-1)$.

ОДЗ: $3y-1 \neq 0$ и $3y+1 \neq 0$, следовательно, $y \neq \frac{1}{3}$ и $y \neq -\frac{1}{3}$.

Перепишем уравнение:

$\frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4}{3y+1} = -\frac{5}{3y-1}$

Общий знаменатель: $(3y-1)(3y+1)$. Умножим обе части на него:

$4 - 4(3y-1) = -5(3y+1)$

Раскроем скобки:

$4 - 12y + 4 = -15y - 5$

$8 - 12y = -15y - 5$

$15y - 12y = -5 - 8$

$3y = -13$

$y = -\frac{13}{3}$

Корень $y = -13/3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{13}{3}$.

г) $\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1$

ОДЗ: $x+3 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Перепишем уравнение:

$\frac{4}{x+3} - \frac{5}{-(x-3)} = \frac{1}{x-3} - 1$

$\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1$

Перенесем дроби в одну сторону:

$\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} - \frac{1}{x-3} = -1$

$\frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} = -1$

Общий знаменатель: $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$. Умножим обе части на него:

$4(x-3) + 4(x+3) = -1(x^2 - 9)$

$4x - 12 + 4x + 12 = -x^2 + 9$

$8x = -x^2 + 9$

$x^2 + 8x - 9 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -9, а сумма -8. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

Ответ: -9; 1.

д) $\frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2 - x}$

Разложим знаменатель в правой части: $x^2 - x = x(x-1)$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Общий знаменатель: $x(x-1)$. Умножим обе части на него:

$3(x-1) + 4x = 5-x$

$3x - 3 + 4x = 5-x$

$7x - 3 = 5-x$

$8x = 8$

$x = 1$

Найденный корень $x=1$ не входит в ОДЗ, так как при $x=1$ знаменатели $x-1$ и $x^2-x$ обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет.

е) $\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2 - 2y}$

Разложим знаменатель в правой части: $y^2 - 2y = y(y-2)$.

ОДЗ: $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0$, следовательно, $y \neq 0$ и $y \neq 2$.

Общий знаменатель: $y(y-2)$. Умножим обе части на него:

$(3y-2)(y-2) - 1 \cdot y = 3y+4$

$3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y+4$

$3y^2 - 9y + 4 = 3y+4$

$3y^2 - 12y = 0$

Вынесем общий множитель $3y$ за скобки:

$3y(y-4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $y_1=0$ или $y_2=4$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $y_1=0$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ. Корень $y_2=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.