Номер 635, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 635, страница 149.

635. При каком значении х:

а) значение функции y =2x - 1x + 6 равно 5; –3; 0; 2;

б) значение функции y =x² + x - 2x + 3 равно –10; 0; –5?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} y=\frac{2x-1}{x+6} \\ y=5; \\ \frac{2x-1}{x+6}=5 /·(x+6) \\ 2x-1=5(x+6) \\ 2x-1=5x+30 \\ 2x-5x=30+1 \\ -3x=31 \\ x=-\frac{31}{3} \\ x=-10\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $x=-{\displaystyle \frac{31}{3}}x=-\backslash frac\{31\}\{3\}$, то $x+6=-{\displaystyle \frac{31}{3}}+6={\displaystyle \frac{-31+18}{3}}=-{\displaystyle \frac{13}{3}}\mathrm{\ne }0x+6\; =\; -\backslash frac\{31\}\{3\}\; +\; 6\; =\; \backslash frac\{-31+18\}\{3\}\; =\; -\backslash frac\{13\}\{3\}\; \backslash neq\; 0$

Ответ: при $x=-10\frac{1}{3}; y=5$

$$\begin{gathered} y=-3; \\ \frac{2x-1}{x+6}=-3/\cdot \left(x+6\right) \\ 2x-1=-3\left(x+6\right) \\ 2x-1=-3x-18 \\ 2x+3x=-18+1 \\ 5x=-17 \\ x=-\frac{17}{5} \\ x=-3\frac{2}{5} \end{gathered}$$

Если $x=-{\displaystyle \frac{17}{5}}x\; =\; -\backslash frac\{17\}\{5\}$, то $x+6=-{\displaystyle \frac{17}{5}}+6={\displaystyle \frac{-17+30}{5}}={\displaystyle \frac{13}{5}}=2{\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{\ne }0x+6\; =\; -\backslash frac\{17\}\{5\}\; +\; 6\; =\; \backslash frac\{-17+30\}\{5\}\; =\; \backslash frac\{13\}\{5\}\; =\; 2\backslash frac\{3\}\{5\}\; \backslash neq\; 0$

Ответ: при $x=-3\frac{2}{5}; y=-3$

$$\begin{gathered} y=0; \\ \frac{2x-1}{x+6}=0/\cdot \left(x+6\right) \\ 2x-1=0 \\ 2x=1 \\ x=0,5 \end{gathered}$$

Если $x=0,5x\; =\; 0,5$, то $x+6=0,5+6=6,5\mathrm{\ne }0x+6\; =\; 0,5\; +\; 6\; =\; 6,5\; \backslash neq\; 0$

Ответ: при $x=0,5x\; =\; 0,5$; $y=0y\; =\; 0$

$$\begin{gathered} y=2; \\ \frac{2x-1}{x+6}=2 /·(x+6) \\ 2x-1=2(x+6) \\ 2x-1=2x+12 \\ 2x-2x=12+1 \\ 0x=13 \end{gathered}$$

Ответ: ни при каком значении х

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{x^2+x-2}{x+3} \\ y=-10; \\ \frac{x^2+x-2}{x+3}=-10 /·(x+3) \\ {x}^2+x-2=-10\left(x+3\right) \\ {x}^2+x-2=-10x-30 \\ {x}^2+x+10x-2+30=0 \\ {x}^2+11x+28=0 \\ D=11^2-4\cdot 1\cdot 28=121-112=9 \\ x=\frac{-11\pm \sqrt{9}}{2}; \frac{-11\pm 3}{2} \\ x=-4 \text{или} x=-7 \end{gathered}$$

Если х=-4, то x+3=-4+3=-1≠0,

если х=-7, то x+3=-7+3=-4≠0

Ответ: при x=-4 и при x=-7; y=-10

$$\begin{gathered} y=0; \\ \frac{x^2+x-2}{x+3}=0 /·(x+3) \\ {x}^2+x-2=0 \\ D=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{-1\pm 3}{2} \\ x=1 \text{или }x=-2 \end{gathered}$$

Если х=1, то x+3=1+3=4≠0,

если х=-2, то x+3=-2+3=1≠0,

Ответ: при x=-2 и при x=1; y=0

$$\begin{gathered} y=-5; \\ \frac{x^2+x-2}{x+3}=-5 /·(x+3) \\ {x}^2+x-2=-5(x+3) \\ {x}^2+x-2=-5x-15 \\ {x}^2+x-2+5x+15=0 \\ {x}^2+6x+13=0 \\ D=6^2-4·1·13=36-52=-16<0 \end{gathered}$$

Ответ: ни при каких x

а) Для того чтобы найти, при каком значении $x$ значение функции $y = \frac{2x - 1}{x + 6}$ равно заданным числам, нужно поочередно приравнять функцию к этим числам и решить полученные уравнения. Область допустимых значений переменной $x$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x + 6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.

1. Найдем $x$, при котором $y = 5$:

$\frac{2x - 1}{x + 6} = 5$

Умножим обе части уравнения на $(x+6)$:

$2x - 1 = 5(x + 6)$

$2x - 1 = 5x + 30$

$2x - 5x = 30 + 1$

$-3x = 31$

$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3}$

Это значение не равно -6, поэтому является решением.

2. Найдем $x$, при котором $y = -3$:

$\frac{2x - 1}{x + 6} = -3$

$2x - 1 = -3(x + 6)$

$2x - 1 = -3x - 18$

$2x + 3x = -18 + 1$

$5x = -17$

$x = -\frac{17}{5} = -3,4$

Это значение не равно -6, поэтому является решением.

3. Найдем $x$, при котором $y = 0$:

$\frac{2x - 1}{x + 6} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$

При $x = \frac{1}{2}$ знаменатель $x+6 \neq 0$, значит, это корень уравнения.

4. Найдем $x$, при котором $y = 2$:

$\frac{2x - 1}{x + 6} = 2$

$2x - 1 = 2(x + 6)$

$2x - 1 = 2x + 12$

$-1 = 12$

Получено неверное равенство, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: при $x = -10\frac{1}{3}$ значение функции равно 5; при $x = -3,4$ значение функции равно -3; при $x = 0,5$ значение функции равно 0; не существует такого значения $x$, при котором значение функции равно 2.

б) Для того чтобы найти, при каком значении $x$ значение функции $y = \frac{x^2 + x - 2}{x + 3}$ равно заданным числам, нужно поочередно приравнять функцию к этим числам и решить полученные уравнения. Область допустимых значений переменной $x$ определяется условием $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

1. Найдем $x$, при котором $y = -10$:

$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = -10$

$x^2 + x - 2 = -10(x + 3)$

$x^2 + x - 2 = -10x - 30$

$x^2 + 11x + 28 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна -11, а их произведение равно 28. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -7$. Оба значения удовлетворяют условию $x \neq -3$.

2. Найдем $x$, при котором $y = 0$:

$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю.

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Оба значения удовлетворяют условию $x \neq -3$.

3. Найдем $x$, при котором $y = -5$:

$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = -5$

$x^2 + x - 2 = -5(x + 3)$

$x^2 + x - 2 = -5x - 15$

$x^2 + 6x + 13 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: при $x=-4$ или $x=-7$ значение функции равно -10; при $x=1$ или $x=-2$ значение функции равно 0; не существует такого значения $x$, при котором значение функции равно -5.