Номер 638, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 638, страница 149.

638. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5}{y-2}-\frac{4}{y-3}=\frac{1}{y}\mathrm{/}y\cdot \left(y-2\right)\left(y-3\right) \\ 5y\left(y-3\right)-4y\left(y-2\right)=\left(y-2\right)\left(y-3\right) \\ 5y^2-15y-4y^2+8y=y^2-3y-2y+6 \\ {y}^2-7y=y^2-5y+6 \\ {y}^2-7y-y^2+5y-6=0 \\ -2y-6=0 \\ -2y=6 \\ y=-3 \end{gathered}$$

Если $y=-3y\; =\; -3$, то $-3·\left(-3-2\right)\left(-3-3\right)=-3·\left(-5\right)·\left(-6\right)=-90\ne 0$

Ответ: -3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{x+2}=\frac{3}{x+3}\mathrm{/}·2\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right) \\ \left(x+2\right)\left(x+3\right)+2\left(x+1\right)\left(x+3\right)=3·2\left(x+1\right)\left(x+2\right) \\ {x}^2+3x+2x+6+2\left(x^2+3x+x+3\right)=6\left(x^2+2x+x+2\right) \\ {x}^2+5x+6+2x^2+8x+6=6x^2+18x+12 \\ 3x^2+13x+12=6x^2+18x+12 \\ 3x^2+13x+12-6x^2-18x-12=0 \\ -3x^2-5x=0 \\ -x\left(3x+5\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}-x=0& \text{или}& 3x+5=0\\ x=0& & 3x=-5\\ & & x=-\frac{5}{3}\\ & & x=-1\frac{2}{3}\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x\; =\; 0$, то $$\begin{gathered} \left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=\left(0+1\right)\left(0+2\right)\left(0+3\right)= \\ =1·2·3=6\ne 0 \end{gathered}$$

если $x=-1{\displaystyle \frac{2}{3}}x\; =\; -1\backslash frac\{2\}\{3\}$, то

$$\begin{gathered} \left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=\left(\frac{-5}{3}+1\right)\left(\frac{-5}{3}+2\right)\left(\frac{-5}{3}+3\right)= \\ =-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{3}=-\frac{8}{27}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $-1{\displaystyle \frac{2}{3}};0-1\backslash frac\{2\}\{3\};\; 0$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x^2-2x}=\frac{8}{x^3-4x} \\ \frac{1}{x+2}+\frac{1}{x\left(x-2\right)}=\frac{8}{x\left(x^2-4\right)} \\ \frac{1}{x+2}+\frac{1}{x\left(x-2\right)}=\frac{8}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)} /\cdot x\left(x-2\right)\left(x+2\right) \\ x\left(x-2\right)+x+2=8 \\ {x}^2-2x+x+2-8=0 \\ {x}^2-x-6=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{25}}{2};x=\frac{1\pm 5}{2} \\ x=3\text{или}x=-2 \end{gathered}$$

Если $x=3x=3$, то $x\left(x-2\right)\left(x+2\right)=x\left(x^2-4\right)=3·\left(3^2-4\right)=3·5=15\ne 0,$

Если $x=-2x\; =\; -2$, то $x\left(x^2-4\right)=-2\left({\left(-2\right)}^2-4\right)=-2·0=0$

Ответ: 3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{10}{y^3-y}+\frac{1}{y-y^2}=\frac{1}{1+y} \\ \frac{10}{y\left(y^2-1\right)}+\frac{1}{y\left(1-y\right)}=\frac{1}{1+y} \\ \frac{10}{y\left(y-1\right)\left(y+1\right)}-\frac{1}{y\left(y-1\right)}=\frac{1}{1+y} /·y\left(y-1\right)\left(y+1\right) \\ 10-\left(y+1\right)=y\left(y-1\right) \\ 10-y-1=y^2-y \\ {y}^2-y+y-10+1=0 \\ {y}^2-9=0 \\ {y}^2=9 \\ y=-3\text{ или }y=3 \end{gathered}$$

Если $y=-3y=-3$, то $$\begin{gathered} y\left(y-1\right)\left(y+1\right)=y\left(y^2-1\right)=-3\left({\left(-3\right)}^2-1\right)= \\ =-3\cdot 8=-24\ne 0 \end{gathered}$$,

если $y=3y=3$, то $y\left(y^2-1\right)=3·\left(3^2-1\right)=3·8=24\ne 0$

Ответ: -3;3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}1+\frac{45}{x^2-8x+16}=\frac{14}{x-4} \\ 1+\frac{45}{{\left(x-4\right)}^2}=\frac{14}{x-4} /·{\left(x-4\right)}^2 \\ {\left(x-4\right)}^2+45=14\left(x-4\right) \\ {x}^2-8x+16+45=14x-56 \\ {x}^2-8x-14x+61+56=0 \\ {x}^2-22x+117=0 \\ D={\left(-22\right)}^2-4·1·117=484-468=16 \\ x=\frac{22\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{22\pm 4}{2} \\ x=13\text{ или }x=9 \end{gathered}$$

Если $x=13x\; =\; 13$, то ${\left(x-4\right)}^2={\left(13-4\right)}^2=9^2=81\ne 0$,

если $x=9x\; =\; 9$, то ${\left(x-4\right)}^2={\left(9-4\right)}^2=5^2=25\ne 0$

Ответ: 9 и 13

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{5}{x-1}-\frac{4}{3-6x+3x^2}=3 \\ \frac{5}{x-1}-\frac{4}{3\left(1-2x+x^2\right)}=3 \\ \frac{5}{x-1}-\frac{4}{3{\left(x-1\right)}^2}=3 /·3{\left(x-1\right)}^2 \\ 5·3\left(x-1\right)-4=3·3{\left(x-1\right)}^2 \\ 15x-15-4=9\left(x^2-2x+1\right) \\ 15x-19=9x^2-18x+9 \\ 9x^2-18x+9-15x+19=0 \\ 9x^2-33x+28=0 \\ D={(-33)}^2-4·9·28=1089-1008=81 \\ x=\frac{33\pm \sqrt{81}}{18}; x=\frac{33\pm 9}{18} \\ \begin{array}{lcl}x=\frac{42}{18}& \text{или}& x=\frac{24}{18}\\ x=\frac{7}{3}& & x=\frac{4}{3}\\ x=2\frac{1}{3}& & x=1\frac{1}{3}\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{7}{3}$, то ${\left(x-1\right)}^2={\left(\frac{7}{3}-1\right)}^2={\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}\ne 0,$

если $x=\frac{4}{3}$, то ${\left(x-1\right)}^2={\left(\frac{4}{3}-1\right)}^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}\ne 0$

Ответ: $1\frac{1}{3}; 2\frac{1}{3}$

а) $\frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $y-2 \neq 0$, $y-3 \neq 0$ и $y \neq 0$. Отсюда получаем $y \neq 2$, $y \neq 3$ и $y \neq 0$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $y(y-2)(y-3)$. Для этого умножим обе части уравнения на этот знаменатель:

$5y(y-3) - 4y(y-2) = 1(y-2)(y-3)$

Раскроем скобки:

$5y^2 - 15y - 4y^2 + 8y = y^2 - 3y - 2y + 6$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$y^2 - 7y = y^2 - 5y + 6$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числа - в другую:

$-7y + 5y = 6$

$-2y = 6$

$y = -3$

Найденный корень $y = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = -3$.

б) $\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}$

ОДЗ: $x+1 \neq 0$, $x+2 \neq 0$, $x+3 \neq 0$. Следовательно, $x \neq -1$, $x \neq -2$, $x \neq -3$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $2(x+1)(x+2)(x+3)$:

$\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x+3} = 0$

$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3) - 3 \cdot 2(x+1)(x+2)}{2(x+1)(x+2)(x+3)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

$(x^2 + 3x + 2x + 6) + 2(x^2 + 3x + x + 3) - 6(x^2 + 2x + x + 2) = 0$

$x^2 + 5x + 6 + 2(x^2 + 4x + 3) - 6(x^2 + 3x + 2) = 0$

$x^2 + 5x + 6 + 2x^2 + 8x + 6 - 6x^2 - 18x - 12 = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(1+2-6)x^2 + (5+8-18)x + (6+6-12) = 0$

$-3x^2 - 5x = 0$

$-x(3x + 5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$3x + 5 = 0 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{3}$

Оба корня ($0$ и $-\frac{5}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -\frac{5}{3}$.

в) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x}$

Разложим знаменатели на множители: $x^2-2x = x(x-2)$, $x^3-4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2)$.

Уравнение принимает вид: $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)}$

ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2$.

Общий знаменатель: $x(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$1 \cdot x(x-2) + 1 \cdot (x+2) = 8$

$x^2 - 2x + x + 2 = 8$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{1+5}{2} = 3$

$x_2 = \frac{1-5}{2} = -2$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: $x = 3$.

г) $\frac{10}{y^3-y} + \frac{1}{y-y^2} = \frac{1}{1+y}$

Разложим знаменатели на множители: $y^3-y = y(y^2-1) = y(y-1)(y+1)$, $y-y^2 = y(1-y) = -y(y-1)$.

Уравнение принимает вид: $\frac{10}{y(y-1)(y+1)} - \frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{y+1}$

ОДЗ: $y \neq 0, y \neq 1, y \neq -1$.

Общий знаменатель: $y(y-1)(y+1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$10 - 1 \cdot (y+1) = 1 \cdot y(y-1)$

$10 - y - 1 = y^2 - y$

$9 - y = y^2 - y$

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y_1 = 3, y_2 = -3$.

д) $1 + \frac{45}{x^2-8x+16} = \frac{14}{x-4}$

Заметим, что знаменатель $x^2-8x+16$ является полным квадратом: $(x-4)^2$.

Уравнение принимает вид: $1 + \frac{45}{(x-4)^2} = \frac{14}{x-4}$

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-4)^2$:

$1 \cdot (x-4)^2 + 45 = 14 \cdot (x-4)$

$x^2 - 8x + 16 + 45 = 14x - 56$

$x^2 - 8x + 61 = 14x - 56$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x - 14x + 61 + 56 = 0$

$x^2 - 22x + 117 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 117 = 484 - 468 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{22 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{22 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{22+4}{2} = 13$

$x_2 = \frac{22-4}{2} = 9$

Оба корня ($13$ и $9$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = 13$.

е) $\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3-6x+3x^2} = 3$

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $3-6x+3x^2 = 3(1-2x+x^2) = 3(x-1)^2$.

Уравнение принимает вид: $\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3(x-1)^2} = 3$

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $3(x-1)^2$:

$5 \cdot 3(x-1) - 4 = 3 \cdot 3(x-1)^2$

$15(x-1) - 4 = 9(x-1)^2$

$15x - 15 - 4 = 9(x^2 - 2x + 1)$

$15x - 19 = 9x^2 - 18x + 9$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 9x^2 - 18x - 15x + 9 + 19$

$9x^2 - 33x + 28 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-33)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 28 = 1089 - 1008 = 81$.

$x_{1,2} = \frac{33 \pm \sqrt{81}}{18} = \frac{33 \pm 9}{18}$

$x_1 = \frac{33+9}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{33-9}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$

Оба корня ($\frac{7}{3}$ и $\frac{4}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{7}{3}, x_2 = \frac{4}{3}$.