Номер 643, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 643, страница 150.

643. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение 1x= ax + b где а и b — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа а и b.

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}=ax+b \\ y=\frac{1}{x} \end{gathered}$$

Область определения - все числа, кроме 0

x	0,25	0,5	1	2	4	-0,25	-0,5	-1	-2	-4
y	4	2	1	0,5	0,25	-4	-2	-1	-0,5	-0,25

y=ax+b - линейная функция, график-прямая

1) при a>0, b - любое число уравнение имеет два корня

2) при a<0, -2<b<2, уравнение не имеет корней

3) при a<0, $b=\pm 2\sqrt{-a}$, уравнение имеет один корень

Докажем, что при a<0, $b=\pm 2\sqrt{-a}$ уравнение имеет один корень $\frac{1}{2}=ax+b; a{x}^2+bx=1; a{x}^2+bx-1=0$

$D=b^2-4a(-1)=b^2+4a$

 Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0

$$\begin{gathered} b^2+4a=0 \\ {b}^2=-4a \end{gathered}$$

Равенство справедливо при a<0

$b=\pm \sqrt{-4a}=\pm 2\sqrt{-a}$

Приведем примеры: пусть a=-4, тогда $b=\pm 2\sqrt{-(-4)}=\pm 2·2=\pm 4$

Функции будут иметь вид:

y=-4x+4 или y=-4x-4

Или пусть $a=-\frac{1}{4},$ тогда $b=\pm 2\sqrt{-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\pm 1$

$y=-\frac{1}{4}x+1; y=-\frac{1}{4}x-1$

4) при a<0, b<-2 или b>2 уравнение имеет два корня

5) при a=0, b≠0 уравнение имеет один корень

6) при a=0, b=0, уравнение не имеет корней

Для определения количества корней уравнения $ \frac{1}{x} = ax + b $ необходимо проанализировать количество точек пересечения графиков функций $ y = \frac{1}{x} $ и $ y = ax + b $. График функции $ y = \frac{1}{x} $ — это гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях. График функции $ y = ax + b $ — это прямая, наклон которой определяется коэффициентом $ a $, а сдвиг по оси OY — коэффициентом $ b $.

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от количества корней.

0 корней

Уравнение не имеет корней, если графики прямой и гиперболы не пересекаются. Это возможно в двух ситуациях:

1. Прямая $ y = ax + b $ является горизонтальной асимптотой гиперболы, то есть совпадает с осью абсцисс ($ y = 0 $). Это происходит, когда $ a=0 $ и $ b=0 $. Уравнение $ \frac{1}{x} = 0 $ не имеет решений.

2. Прямая является убывающей ($ a < 0 $) и "проходит между" ветвями гиперболы, не касаясь их. Чтобы найти точное условие, преобразуем исходное уравнение к квадратному виду, умножив его на $ x $ (при условии $ x \neq 0 $): $ 1 = ax^2 + bx $ или $ ax^2 + bx - 1 = 0 $. Отсутствие точек пересечения означает, что это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это происходит, когда дискриминант $ D = b^2 - 4a(-1) = b^2 + 4a $ отрицателен. Таким образом, условие: $ b^2 + 4a < 0 $.

Ответ: уравнение не имеет корней при $ a=0, b=0 $ или при $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a < 0 $.

1 корень

Уравнение имеет один корень, если графики прямой и гиперболы имеют ровно одну точку пересечения. Это возможно в следующих случаях:

1. Прямая является горизонтальной ($ a=0 $) и не совпадает с осью абсцисс ($ b \neq 0 $). Горизонтальная прямая $ y=b $ при любом ненулевом $b$ пересекает одну из ветвей гиперболы ровно в одной точке.

2. Прямая является касательной к одной из ветвей гиперболы. Это возможно, только если прямая убывающая ($ a < 0 $). Касание означает, что квадратное уравнение $ ax^2 + bx - 1 = 0 $ имеет ровно один действительный корень. Это условие выполняется, когда его дискриминант $ D = b^2 + 4a $ равен нулю, то есть $ b^2 + 4a = 0 $.

Ответ: уравнение имеет один корень при $ a=0, b \neq 0 $ или при $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a = 0 $.

2 корня

Уравнение имеет два корня, если графики прямой и гиперболы имеют две точки пересечения. Это возможно в следующих случаях:

1. Прямая является возрастающей ($ a > 0 $). В этом случае, независимо от значения $ b $, прямая всегда пересекает обе ветви гиперболы, каждую в одной точке. Таким образом, всегда будет две точки пересечения.

2. Прямая является убывающей ($ a < 0 $), но пересекает одну из ветвей гиперболы в двух точках. Это происходит, когда квадратное уравнение $ ax^2 + bx - 1 = 0 $ имеет два различных действительных корня. Условием для этого является положительность дискриминанта: $ D = b^2 + 4a > 0 $.

Ответ: уравнение имеет два корня при $ a > 0 $ (для любого $b$) или при $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a > 0 $.