Номер 649, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 649, страница 152.

649. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришёл к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть x км/ч - скорость одного автомобиля, тогда (x+20) км/ч - скорость второго автомобиля.

Зная, что расстояние равно 120км, можно найти время каждого автомобиля, за которое они прошли данное расстояние:

$t_1={\displaystyle \frac{120}{x}}t\_1\; =\; \backslash frac\{120\}\{x\}$ ч - время первого автомобиля,

$t_2={\displaystyle \frac{120}{x+20}}t\_2\; =\; \backslash frac\{120\}\{x+20\}$ ч - время второго автомобиля

Известно, что второй автомобиль пришёл к месту назначения на 1ч раньше.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{120}{x}=\frac{120}{x+20}+1 /·x\left(x+20\right) \\ 120\left(x+20\right)=120x+x\left(x+20\right) \\ 120x+2400=120x+x^2+20x \\ {x}^2+20x+120x-120x-2400=0 \\ {x}^2+20x-2400=0 \\ D=20^2-4·1·\left(-2400\right)=400+9600=10000 \\ x=\frac{-20\pm \sqrt{10000}}{2}; x=\frac{-20\pm 100}{2} \end{gathered}$$
$x_1=40; x_2=-60$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

40+20=60(км/ч)

Ответ: 40 км/ч; 60 км/ч

Пусть $v$ км/ч — скорость второго (более медленного) автомобиля. Тогда, согласно условию, скорость первого автомобиля будет $(v + 20)$ км/ч.

Оба автомобиля проехали расстояние $S = 120$ км.

Время, которое затратил на путь второй (медленный) автомобиль, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и составляет $t_2 = \frac{120}{v}$ часов.

Время, которое затратил на путь первый (быстрый) автомобиль, составляет $t_1 = \frac{120}{v+20}$ часов.

Из условия известно, что первый автомобиль пришёл к месту назначения на 1 час раньше второго. Это значит, что разница во времени их движения составляет 1 час:
$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для времени в это уравнение:
$\frac{120}{v} - \frac{120}{v+20} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+20)$. Область допустимых значений: $v > 0$.
$\frac{120(v+20) - 120v}{v(v+20)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:
$\frac{120v + 2400 - 120v}{v^2 + 20v} = 1$

$\frac{2400}{v^2 + 20v} = 1$

Это уравнение равносильно следующему:
$v^2 + 20v = 2400$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 20v - 2400 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$
$\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$

Теперь найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-20 + 100}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$
$v_2 = \frac{-20 - 100}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не соответствует условию задачи.

Следовательно, скорость второго (медленного) автомобиля составляет 40 км/ч.

Скорость первого автомобиля на 20 км/ч больше:
$40 + 20 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость одного автомобиля 60 км/ч, скорость другого автомобиля 40 км/ч.