Номер 651, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 651, страница 153.

651. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.

Пусть x км/ч - скорость второго автомобиля, тогда (x+10) км/ч - скорость первого автомобиля. Зная, что расстояние между городами равно 560 км, найдём время, за которое каждый автомобиль преодолел это расстояние:

$t_1={\displaystyle \frac{560}{x+10}}t\_1\; =\; \backslash frac\{560\}\{x+10\}$ч - время первого автомобиля,

$t_2={\displaystyle \frac{560}{x}}t\_2\; =\; \backslash frac\{560\}\{x\}$ч - время второго автомобиля.

Известно, что первый автомобиль приезжает на место на 1ч раньше второго. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{560}{x}=\frac{560}{x+10}+1 \mathrm{/}·x\left(x+10\right) \\ 560\left(x+10\right)=560x+x\left(x+10\right) \\ 560x+5600=560x+x^2+10x \\ {x}^2+10x-5600=0 \\ D=10^2-4·1·\left(-5600\right)=100+22400=22500 \\ x=\frac{-10\pm \sqrt{22500}}{2}; x=\frac{-10\pm 150}{2} \end{gathered}$$,

$x_1=70; x_2=-80$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

70+10=80 (км/ч)

Ответ: 80 км/ч; 70 км/ч

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение на основе предоставленных данных.

Пусть $x$ км/ч — скорость второго автомобиля. Поскольку скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше, она будет равна $(x + 10)$ км/ч.

Расстояние между городами составляет 560 км. Время, которое затратил на путь каждый автомобиль, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время в пути для первого автомобиля: $t_1 = \frac{560}{x + 10}$ часов.

Время в пути для второго автомобиля: $t_2 = \frac{560}{x}$ часов.

Из условия известно, что первый автомобиль приезжает на 1 час раньше второго. Это означает, что время второго автомобиля на 1 час больше времени первого. Математически это можно записать как уравнение:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:

$\frac{560}{x} - \frac{560}{x + 10} = 1$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x + 10)$ и умножим на него обе части уравнения, учитывая, что $x > 0$ (скорость не может быть отрицательной или равной нулю):

$560(x + 10) - 560x = x(x + 10)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$560x + 5600 - 560x = x^2 + 10x$

$5600 = x^2 + 10x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 5600 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{22500}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 150}{2}$

Вычислим два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70$

$x_2 = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не является решением задачи. Таким образом, скорость второго автомобиля составляет 70 км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

$x + 10 = 70 + 10 = 80$ км/ч.

Проверка:
Время первого автомобиля: $t_1 = \frac{560 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 7$ часов.
Время второго автомобиля: $t_2 = \frac{560 \text{ км}}{70 \text{ км/ч}} = 8$ часов.
Разница во времени: $t_2 - t_1 = 8 - 7 = 1$ час, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, а скорость второго автомобиля — 70 км/ч.